Taux d'évolution moyen et seuils exponentiels : 12 exercices corrigés de 1re

Résous les équations suivantes dans [0 ; +∞[.
a. x³ = 64
b. x⁴ = 81
c. x³ = 0,125

Méthode : Méthode du cours : pour c ⩾ 0, l'équation xⁿ = c admet une unique solution positive, notée c^(1/n). Ici les nombres sont familiers : 4³ = 64, 3⁴ = 81 et 0,5³ = 0,125. On peut aussi les retrouver à la calculatrice avec la touche puissance et l'exposant 1/n.

Résous les équations suivantes dans [0 ; +∞[. Donne une valeur approchée au centième.
a. 2x³ = 10
b. 5x⁴ = 100

Méthode : Commence par isoler la puissance : divise les deux membres par le coefficient devant xⁿ. Ce n'est qu'ENSUITE que l'on applique l'exposant 1/n. Diviser après avoir pris la racine donnerait un résultat faux.

Soit u une suite géométrique à termes positifs, de raison q, telle que u(1) = 8 et u(4) = 12,167.
a. Calcule u(4) ÷ u(1). Arrondis au millionième.
b. Ce quotient vaut q³. Quelle est la valeur de q ? Arrondis au millième.
c. Calcule u(2). Arrondis au dixième.

Méthode : De u(1) à u(4), il y a trois étapes : le quotient des deux termes vaut donc q³. Pour retrouver q, on applique l'exposant 1/3 à ce quotient. La suite étant à termes positifs, la solution positive est la seule qui convienne.

Un prix augmente de 44 % en deux mois.
a. Quel est le coefficient multiplicateur global ?
b. Quel est le coefficient multiplicateur mensuel moyen ?
c. Quel est le taux d'évolution mensuel moyen, en pourcentage ?

Méthode : Méthode du cours « Déterminer un taux moyen » : le coefficient moyen est celui qui, APPLIQUÉ DEUX FOIS, redonne le coefficient global. On cherche donc le nombre dont le carré vaut 1,44, c'est-à-dire 1,44^(1/2). Le taux s'obtient ensuite en retranchant 1.

Détermine les taux d'évolution moyens correspondant aux situations suivantes. Arrondis à 0,01 %.
a. Une hausse globale de 15 % sur cinq périodes.
b. Une baisse globale de 20 % sur quatre périodes.

Méthode : Méthode du cours : le taux moyen vaut t = (1 + t_global)^(1/n) − 1, où n est le nombre de périodes. N'oublie pas les parenthèses autour de l'exposant fractionnaire quand tu le saisis à la calculatrice.

Le record de hauteur d'un perchiste est passé de 5,30 m en 2015 à 6,05 m en 2018.
a. Quel est le coefficient multiplicateur global ? Arrondis au millième.
b. Combien d'années séparent les deux records ?
c. Quel est le taux d'évolution annuel moyen, en pourcentage arrondi au centième ?

Méthode : Compte bien le nombre de PÉRIODES : de 2015 à 2018, il s'écoule 3 années, pas 4. Le coefficient annuel moyen vérifie a³ = coefficient global.

Une population de 1 000 individus double chaque année. Sans calculatrice, on veut estimer l'ordre de grandeur de la population au bout de 10 ans.
a. Par quel nombre la population est-elle multipliée en 10 ans ?
b. Quel est l'ordre de grandeur de ce nombre : une centaine, un millier, ou un million ?
c. Quel est l'ordre de grandeur de la population au bout de 10 ans ?

Méthode : Méthode du cours « Utiliser un ordre de grandeur » : 2¹⁰ = 1 024 est un repère à connaître, il vaut environ 1 000. Doubler dix fois revient donc à peu près à multiplier par mille — un raccourci très utile pour estimer sans calculatrice.

Une feuille de papier d'épaisseur 0,1 mm est pliée en deux à plusieurs reprises : chaque pliage double l'épaisseur.
a. Quelle est l'épaisseur après 10 pliages, en millimètres ?
b. Convertis ce résultat en centimètres.
c. Sans calcul précis, quel est l'ordre de grandeur de l'épaisseur après 20 pliages : le mètre, la dizaine de mètres, ou la centaine de mètres ?

Méthode : Sers-toi du repère 2¹⁰ ≈ 1 000 : vingt pliages multiplient par 2²⁰ = (2¹⁰)², soit environ un million. Attention aux conversions : 1 cm = 10 mm et 1 m = 1 000 mm.

En 1798, Malthus écrit que la population de la Grande-Bretagne, alors de 11 millions, double tous les 25 ans, tandis que les ressources alimentaires augmentent de 11 millions de rations tous les 25 ans, en partant de 11 millions. On note n le nombre de quarts de siècle écoulés.
a. Donne l'expression de la population u(n), en millions.
b. Donne l'expression du nombre de rations v(n), en millions.
c. Quelle est la population et quel est le nombre de rations au bout de 3 quarts de siècle ?

Méthode : Une population qui DOUBLE suit une croissance exponentielle ; des ressources qui augmentent d'une quantité FIXE suivent une croissance linéaire. C'est précisément l'opposition que Malthus voulait mettre en évidence.

Une population de bactéries, en milliers, est donnée par u(n) = 2 × 1,5ⁿ au bout de n jours.
a. Calcule u(3). Arrondis au millième.
b. Calcule u(4). Arrondis au millième.
c. Au bout de combien de jours la population dépasse-t-elle 10 000 bactéries, c'est-à-dire 10 milliers ?

Méthode : Méthode du cours : on calcule les termes de proche en proche jusqu'à franchir le seuil. Attention à l'unité : la population est exprimée en MILLIERS, donc 10 000 bactéries correspond à u(n) = 10.

Le nombre de noyaux d'iode 131, en millions, dans un échantillon à l'instant t exprimé en jours est N(t) = 5 × 0,917^t.
a. Calcule N(7). Arrondis au millième.
b. Calcule N(8). Arrondis au millième.
c. À partir de combien de jours entiers reste-t-il moins de 2,5 millions de noyaux ?

Méthode : Calcule les valeurs successives à la calculatrice jusqu'à passer sous 2,5, qui est la moitié de la valeur initiale. Le résultat obtenu porte un nom en physique : c'est la demi-vie.

Après l'administration d'iode radioactif, l'activité résiduelle d'un patient, en mégabecquerels, est modélisée par g(t) = 800 × 0,917^t, où t est le nombre de jours. Le patient doit s'isoler tant que l'activité dépasse 55 MBq.
a. Calcule g(30). Arrondis à l'unité.
b. Calcule g(31). Arrondis à l'unité.
c. Au bout de combien de jours entiers le patient peut-il cesser de s'isoler ?

Méthode : Procède par essais successifs à la calculatrice autour de t = 30. Comme il s'agit d'un nombre de jours, la réponse est un entier, et il faut prendre le premier pour lequel le seuil est franchi.