Niveau 1ʳᵉ · Cours
🎯 À la fin de ce chapitre, je sais : résoudre une équation xⁿ = c et calculer une racine n-ième · calculer un taux d'évolution moyen sur n périodes · estimer l'ordre de grandeur d'une quantité en croissance ou décroissance exponentielle · résoudre un problème de seuil.
Un prix augmente de 44 % en deux mois : de combien a-t-il augmenté chaque mois en moyenne ? La tentation est de diviser 44 par 2 — et c'est faux, pour la même raison qu'en seconde les taux ne s'additionnent pas. Ce chapitre donne l'outil qui répond correctement à ce type de question.
Pour trouver le coefficient mensuel moyen, il faut le nombre qui, multiplié deux fois par lui-même, redonne 1,44. Autrement dit, résoudre x² = 1,44. C'est un problème de racine — et il se pose avec toutes les puissances, pas seulement le carré.
Soit c ⩾ 0 et n un entier naturel non nul. L'équation xⁿ = c admet une UNIQUE solution réelle positive. Cette solution s'appelle la RACINE n-IÈME de c et se note c^(1/n).
Pour n = 2, on retrouve la racine carrée : c^(1/2) est le nombre positif dont le carré vaut c.
À la calculatrice, on utilise la touche « puissance » avec l'exposant écrit entre parenthèses : (1/n).
x³ = 64 : la solution positive est 64^(1/3) = 4, car 4³ = 64.
x⁴ = 81 : la solution positive est 81^(1/4) = 3, car 3⁴ = 81.
x⁷ = 15 : la solution positive est 15^(1/7) ≈ 1,49 — ici il faut la calculatrice.
Contre-exemple : l'exposant 1/n n'est PAS une division par n.
La solution de x³ = 8 n'est pas 8 ÷ 3 ≈ 2,67, mais 2, car 2³ = 8.
Vérification simple : élève ta réponse à la puissance n. Si tu ne retrouves pas c, c'est que tu as divisé au lieu de prendre la racine.
Méthode — résoudre une équation du type k·xⁿ = c.
1) J'ISOLE d'abord la puissance en divisant les deux membres par le coefficient : 2x³ = 10 donne x³ = 5.
2) J'applique ensuite l'exposant 1/n : x = 5^(1/3) ≈ 1,71.
3) Je vérifie : 1,71³ ≈ 5 ✓, puis 2 × 5 = 10 ✓.
Pour c ⩾ 0, xⁿ = c a une unique solution positive : c^(1/n).
c^(1/2) est la racine carrée de c.
On isole la puissance avant d'appliquer l'exposant 1/n.
Question 1 — Quelle est la solution positive de x³ = 27 ?
Question 2 — Comment note-t-on la solution positive de x⁵ = 12 ?
Question 3 — Pour résoudre 3x⁴ = 48, quelle est la première étape ?
Une fréquentation qui double en dix ans, un prix qui monte de 44 % en deux mois, un record qui progresse de 14 % en trois ans : dans chaque cas, on veut savoir ce que cela représente PAR PÉRIODE.
Une quantité subit n évolutions successives et son taux global est t_global. Le TAUX D'ÉVOLUTION MOYEN par période est le taux t qui, appliqué n fois de suite, donnerait la même évolution globale.
Son coefficient multiplicateur vérifie donc CM_moyen ⁿ = CM_global, d'où CM_moyen = CM_global^(1/n), et enfin t_moyen = CM_global^(1/n) − 1.
Méthode — calculer un taux d'évolution moyen.
1) Je calcule le coefficient multiplicateur GLOBAL : une hausse de 44 % donne 1,44.
2) Je repère le nombre n de périodes : ici deux mois, donc n = 2.
3) J'applique l'exposant 1/n : 1,44^(1/2) = 1,2.
4) Je retranche 1 et je convertis : 1,2 − 1 = 0,2, soit une hausse mensuelle moyenne de 20 %.
Une fréquentation qui DOUBLE en dix ans : CM_global = 2, n = 10.
CM_moyen = 2^(1/10) ≈ 1,072, soit un taux annuel moyen d'environ +7,2 %.
Un record de perche passant de 5,30 m à 6,05 m en 3 ans : CM_global = 6,05 ÷ 5,30 ≈ 1,1415, donc CM_moyen = 1,1415^(1/3) ≈ 1,0451, soit environ +4,51 % par an.
Contre-exemple : on ne divise JAMAIS le taux par le nombre de périodes.
Une hausse de 36 % en un an ne correspond pas à 36 ÷ 12 = 3 % par mois. En effet, douze hausses de 3 % donneraient 1,03¹² ≈ 1,426, soit +42,6 % — beaucoup trop.
Le vrai taux mensuel moyen vaut 1,36^(1/12) ≈ 1,026, soit environ +2,60 %. C'est la même erreur qu'en seconde : les taux ne s'additionnent pas, ce sont les coefficients qui se multiplient.
CM_moyen = CM_global^(1/n) · t_moyen = CM_global^(1/n) − 1.
n est le nombre de PÉRIODES, pas de dates.
Diviser le taux global par n est toujours faux.
Question 1 — Un prix augmente de 21 % en un an. Quel est le taux semestriel moyen ?
Question 2 — Quelle formule donne le taux moyen sur n périodes ?
Question 3 — Une quantité baisse de 20 % sur 4 périodes. Le taux moyen par période est :
Une croissance exponentielle défie l'intuition : personne ne devine spontanément qu'une feuille de papier pliée trente fois dépasserait cent kilomètres d'épaisseur. Quelques repères permettent d'estimer sans calculatrice — et surtout de repérer un résultat aberrant.
ESTIMER UN ORDRE DE GRANDEUR, c'est déterminer la puissance de dix à laquelle une quantité se situe : la centaine, le millier, le million…
Deux repères à connaître : 2¹⁰ = 1 024 ≈ 1 000, donc DOUBLER DIX FOIS revient à multiplier par environ mille ; et un taux annuel d'environ 7 % DOUBLE une quantité en dix ans.
Une population de 1 000 individus double chaque année : au bout de 10 ans elle est multipliée par 2¹⁰ ≈ 1 000, elle atteint donc environ un million.
Une feuille de 0,1 mm pliée 10 fois mesure 0,1 × 1 024 ≈ 102 mm, soit une dizaine de centimètres. Pliée 20 fois, elle mesure 0,1 × 2²⁰ ≈ 105 000 mm, soit une centaine de mètres.
Contre-exemple : l'intuition linéaire est trompeuse.
Si un lac se couvre entièrement de lentilles d'eau en 30 jours, la surface doublant chaque jour, on croit spontanément qu'il était à moitié couvert au 15ᵉ jour.
En réalité il l'était au 29ᵉ jour. Au 15ᵉ, il n'était couvert que d'un trente-deux millième environ : presque rien n'était visible, et pourtant tout se jouait déjà.
Méthode — contrôler un résultat par son ordre de grandeur.
1) J'estime grossièrement le facteur multiplicatif, en m'aidant du repère 2¹⁰ ≈ 1 000.
2) Je compare au résultat obtenu à la calculatrice.
3) Si l'écart est d'un facteur dix ou plus, je cherche l'erreur : exposant mal saisi, parenthèses oubliées, unité fausse.
4) Je confronte enfin le résultat à la réalité : 21 000 voitures électriques dans une petite ville n'a aucun sens.
2¹⁰ ≈ 1 000 : doubler dix fois multiplie par mille.
≈ 7 % par an double une quantité en dix ans.
Un ordre de grandeur sert à repérer les erreurs et les résultats absurdes.
Question 1 — Une quantité double 10 fois. Par combien est-elle multipliée, environ ?
Question 2 — Un lac se couvre entièrement en 30 jours, la surface doublant chaque jour. Quand était-il à moitié couvert ?
Question 3 — Un capital placé à 7 % par an double environ en :
« Au bout de combien de jours l'activité radioactive passe-t-elle sous 55 MBq ? », « à partir de quelle année manquera-t-il des places de recharge ? » : ces questions ressemblent aux seuils du chapitre sur la croissance linéaire, mais l'inconnue est cette fois DANS L'EXPOSANT.
Une inéquation dont l'inconnue figure en exposant, comme 10 × 0,9ⁿ < 5, ne se résout pas par les techniques du premier degré. En première, on la traite de TROIS façons : par essais successifs à la calculatrice, par lecture graphique, ou avec un tableau de valeurs.
Le principe est toujours le même : on calcule des termes jusqu'à franchir le seuil, puis on VÉRIFIE que le terme précédent ne le franchit pas encore.
Sur le graphique, les points de v(n) = 10 × 0,9ⁿ passent sous la droite y = 5 entre les rangs 6 et 7.
On confirme par le calcul : v(6) ≈ 5,314 est encore supérieur à 5, tandis que v(7) ≈ 4,783 lui est inférieur.
La réponse est donc : à partir du rang 7.
Méthode — résoudre un problème de seuil exponentiel.
1) J'écris l'inéquation traduisant la question.
2) Je calcule des valeurs successives, en m'aidant si besoin d'un tableau de valeurs de la calculatrice.
3) J'encadre le seuil par deux rangs consécutifs.
4) Je conclus par une phrase, en donnant le premier rang qui convient et en citant les deux valeurs qui l'encadrent.
Contre-exemple : un seuil qui n'est jamais franchi.
Pour v(n) = 10 × 0,9ⁿ, on peut chercher à partir de quel rang v(n) < 0. La réponse est : jamais. Une suite géométrique à termes positifs se rapproche indéfiniment de 0 sans jamais l'atteindre, et encore moins devenir négative.
Avant de lancer des essais, il vaut donc mieux se demander si le seuil peut être franchi.
Inconnue en exposant → essais successifs, graphique ou tableau de valeurs.
On encadre le seuil par deux rangs consécutifs et on cite les deux valeurs.
Une suite géométrique à termes positifs ne franchit jamais 0.
Question 1 — u(n) = 3ⁿ. Quel est le plus petit rang tel que u(n) dépasse 100 ?
Question 2 — Comment résout-on une inéquation dont l'inconnue est en exposant, en première ?
Question 3 — Une suite géométrique à termes positifs de raison 0,9 peut-elle passer sous 0 ?
Ton mémo complet est dans l’encadré « Mémo ». Prêt·e pour les défis ?