Niveau 1ʳᵉ · Cours
🎯 À la fin de ce chapitre, je sais : construire un nuage de points et décrire sa forme · calculer les coordonnées du point moyen · déterminer une droite d'ajustement et son équation réduite · interpoler ou extrapoler une valeur, et dire quand cette prévision mérite d'être crue.
Au chapitre précédent, on croisait deux caractères QUALITATIFS — le sexe, la CSP, un mode de chauffage — dans un tableau. Ici les deux caractères sont des NOMBRES : une pression et une saturation, une vitesse et une distance, une année et une population. On peut alors les placer dans un repère, et parfois même prévoir une valeur qu'on n'a pas mesurée.
Pendant une opération à cœur ouvert, une machine remplace le cœur : il faut la régler. On soumet donc du sang à différentes pressions en dioxygène et on mesure la saturation de l'hémoglobine. Cinq couples de nombres — impossible de voir la tendance dans le tableau, évident dès qu'on les place dans un repère.
Dans un NUAGE DE POINTS, chaque individu de la population est représenté par un point : l'un des deux caractères donne son abscisse, l'autre son ordonnée.
On DÉCRIT un nuage en disant s'il monte ou s'il descend quand on va vers la droite, s'il est resserré autour d'une ligne ou dispersé, et si certains points sont nettement à l'écart des autres.
Sur le nuage ci-dessus, le point (6 ; 60) signifie qu'à une pression de 6 kPa correspond une saturation de 60 %.
Le nuage monte régulièrement : plus la pression augmente, plus la saturation augmente. Les points sont presque alignés — c'est ce qui autorisera, plus loin, un ajustement par une droite.
Contre-exemple : un nuage sans tendance.
En croisant la population et la superficie de six pays européens, on n'obtient aucune tendance : la Suède est peu peuplée mais très étendue, l'Allemagne est la plus peuplée mais d'étendue moyenne.
Deux caractères peuvent parfaitement n'avoir aucun lien — et c'est une conclusion, pas un échec.
Méthode — construire un nuage de points.
1) Je choisis quel caractère va en abscisse et lequel en ordonnée.
2) J'observe la plus petite et la plus grande valeur de chacun pour choisir une échelle : le nuage doit occuper toute la figure.
3) Je place un point par individu.
4) Je décris : sens, alignement, points isolés.
Un point = un individu, ses deux caractères en abscisse et en ordonnée.
Décrire un nuage : sens, alignement, points à l'écart.
Lien ≠ cause, et les points d'un nuage ne se relient jamais.
Question 1 — Dans un nuage de points, que représente un point ?
Question 2 — Un nuage descend nettement de la gauche vers la droite. Que peut-on dire ?
Question 3 — Faut-il relier les points d'un nuage par des segments ?
Un nuage compte parfois des centaines de points. Pour résumer sa position d'ensemble par un seul point — comme la moyenne résume une série de notes — on calcule son point moyen.
Le POINT MOYEN d'un nuage, souvent noté G, est le point dont l'abscisse est la MOYENNE DES ABSCISSES des points du nuage, et l'ordonnée la MOYENNE DES ORDONNÉES.
Pour les cinq mesures de saturation, les pressions sont 2, 5, 6, 7 et 8 : leur somme vaut 28 et leur moyenne 28 ÷ 5 = 5,6.
Les saturations sont 10, 40, 60, 80 et 90 : leur somme vaut 280 et leur moyenne 280 ÷ 5 = 56.
Le point moyen est donc G(5,6 ; 56).
Contre-exemple : G n'est pas un point du nuage.
Aucune des cinq mesures ne vaut 5,6 kPa. G est un point CALCULÉ : il résume le nuage sans en faire partie, exactement comme une classe dont la moyenne est 12,4 peut ne compter aucun 12,4.
Méthode — calculer les coordonnées du point moyen.
1) J'additionne toutes les abscisses et je divise par le nombre de points.
2) J'additionne toutes les ordonnées et je divise par le même nombre.
3) J'écris le couple obtenu : G(x_G ; y_G).
Au tableur, ces deux calculs s'écrivent =MOYENNE(plage).
G(moyenne des abscisses ; moyenne des ordonnées).
G est calculé : il n'est en général aucun des points du nuage.
Au tableur : =MOYENNE(plage) pour chaque coordonnée.
Question 1 — Un nuage est formé des points (2 ; 5), (4 ; 9) et (6 ; 10). Quelle est l'abscisse du point moyen ?
Question 2 — Pour ce même nuage, quelle est l'ordonnée du point moyen ?
Question 3 — Le point moyen appartient-il toujours au nuage ?
Quand un nuage est presque aligné, on peut le remplacer par une droite : c'est un MODÈLE, plus simple que les données, et qui permet de calculer des valeurs qu'on n'a pas mesurées.
AJUSTER un nuage par une droite, c'est choisir une droite qui passe au plus près de l'ensemble des points. On parle d'AJUSTEMENT AFFINE.
Cette droite a une équation réduite y = ax + b, que l'on détermine comme en seconde : le coefficient directeur a se calcule à partir de deux points de la droite, puis b en remplaçant les coordonnées de l'un d'eux.
Méthode — déterminer l'équation d'une droite d'ajustement.
1) Je trace, à la règle, une droite qui laisse à peu près autant de points au-dessus qu'en dessous.
2) Je repère DEUX points bien lisibles de cette droite.
3) Je calcule a = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁).
4) Je remplace x et y par les coordonnées de l'un des deux points dans y = ax + b pour obtenir b.
Sur la figure, la droite d passe par (5 ; 40) et (7 ; 80).
a = (80 − 40) ÷ (7 − 5) = 40 ÷ 2 = 20.
40 = 20 × 5 + b donne b = 40 − 100 = −60. Donc d : y = 20x − 60.
On vérifie graphiquement : la droite coupe bien l'axe des abscisses en x = 3, et 20 × 3 − 60 = 0 ✓.
Contre-exemple : un nuage qu'on ne doit PAS ajuster par une droite.
Ce nuage donne la distance d'arrêt d'une voiture selon sa vitesse. Entre 10 et 50 km/h, la distance augmente de 18 m ; entre 180 et 210 km/h, de 128 m pour une hausse de vitesse comparable.
L'accroissement n'est pas constant : le nuage s'incurve vers le haut. Une droite y donnerait des prévisions gravement fausses.
Ajuster = remplacer un nuage presque aligné par une droite y = ax + b.
a = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁), puis b en remplaçant un point.
Pas d'alignement, pas d'ajustement affine.
Question 1 — Une droite d'ajustement passe par (2 ; 10) et (6 ; 22). Quel est son coefficient directeur ?
Question 2 — Pour cette même droite, quelle est l'ordonnée à l'origine ?
Question 3 — Quand un ajustement affine est-il déconseillé ?
Une fois la droite trouvée, elle sert à répondre à des questions que les mesures ne couvrent pas : « quelle serait la saturation à 6,5 kPa ? », « quelle sera la population en 2030 ? ». Encore faut-il savoir jusqu'où on a le droit d'aller.
INTERPOLER, c'est estimer une valeur À L'INTÉRIEUR de la plage des données observées.
EXTRAPOLER, c'est l'estimer EN DEHORS de cette plage — avant la première mesure ou après la dernière.
Dans les deux cas, on remplace x par la valeur voulue dans l'équation de la droite d'ajustement.
Avec d : y = 20x − 60, pour des mesures allant de 2 à 8 kPa.
À 6,5 kPa : 20 × 6,5 − 60 = 70. La saturation estimée est de 70 %. C'est une interpolation, 6,5 étant entre 2 et 8 : la prévision est fiable.
À 9 kPa : 20 × 9 − 60 = 120. C'est une extrapolation.
Contre-exemple : quand l'extrapolation devient absurde.
Une saturation de 120 % n'existe pas : une saturation est un pourcentage, elle ne peut pas dépasser 100 %.
Le modèle affine décrivait bien les mesures entre 2 et 8 kPa, mais il cesse d'être valable au-delà. Le calcul, lui, ne prévient de rien : c'est à toi de confronter le résultat à la réalité.
Méthode — utiliser un ajustement pour prévoir.
1) Je vérifie que le nuage justifiait bien un ajustement affine.
2) Je remplace x par la valeur voulue dans y = ax + b.
3) Je regarde si cette valeur est dans la plage des données (interpolation) ou en dehors (extrapolation).
4) Je confronte le résultat au bon sens : est-il possible dans la situation étudiée ?
Interpoler = à l'intérieur des données · extrapoler = en dehors.
On remplace x dans y = ax + b, puis on confronte au bon sens.
Un ajustement ne vaut que sur la plage où il a été établi, et un peu au-delà.
Question 1 — Les données vont de x = 10 à x = 50. Estimer la valeur pour x = 35, c'est :
Question 2 — Avec y = 45x + 14 616 où x compte les années depuis 2011, que prévoit le modèle pour 2015 ?
Question 3 — Un modèle affine prévoit une masse de −3 kg. Que faut-il en conclure ?
Ton mémo complet est dans l’encadré « Mémo ». Prêt·e pour les défis ?