Niveau 1ʳᵉ · Cours
🎯 À la fin de ce chapitre, je sais : reconnaître un phénomène discret ou continu de croissance linéaire et le modéliser · déterminer une fonction affine à partir de deux valeurs · exploiter la représentation graphique d'une suite arithmétique ou d'une fonction affine · résoudre un problème de seuil.
Tu connais déjà les fonctions affines depuis la seconde, et les suites arithmétiques depuis le chapitre précédent. Ce chapitre montre que ce sont les DEUX FACES d'une même idée — une grandeur qui varie toujours de la même quantité — et apprend à choisir laquelle utiliser selon la situation.
Un compte bancaire relevé chaque mois, un réservoir qui se vide goutte à goutte : dans les deux cas une grandeur évolue régulièrement, mais pas de la même façon. Le solde n'existe qu'aux dates de relevé ; le volume d'eau, lui, existe à chaque instant.
Un phénomène est DISCRET lorsque la variable ne prend que des valeurs isolées, en général des entiers : un numéro de mois, de semaine, de rangée. Il se modélise par une SUITE.
Un phénomène est CONTINU lorsque la variable parcourt un intervalle de ℝ : un temps, une longueur, une masse. Il se modélise par une FONCTION.
La croissance d'un phénomène est LINÉAIRE lorsque le taux d'accroissement de la suite ou de la fonction qui le décrit est CONSTANT. Une croissance linéaire discrète se modélise par une suite arithmétique, une croissance linéaire continue par une fonction affine.
« La consommation de savon d'un lycée augmente de 2 kg par jour, relevée chaque jour » : la variable est un nombre entier de jours, le phénomène est DISCRET et se modélise par une suite arithmétique de raison 2.
« La température d'un liquide qui refroidit vaut f(t) = 40 − 1,5t, où t est en minutes » : t peut valoir 3,5 minutes, le phénomène est CONTINU et se modélise par une fonction affine de coefficient directeur −1,5.
Contre-exemple : linéaire ne veut pas dire croissant.
Le solde de Julie passe de 1 300 € à 1 050 € en un mois, et elle dépensera toujours la même somme. La croissance est bien LINÉAIRE, puisque la variation est constante — mais la raison vaut −250 : la suite décroît.
Autre contre-exemple : un loyer qui passe de 1 350 à 1 393 puis 1 434, 1 478 et 1 522 € augmente de 43, 41, 44 et 44 € : ce n'est pas exactement linéaire, seulement QUASI linéaire.
Méthode — choisir et écrire le modèle.
1) J'identifie la variable et je regarde si elle est entière (discret) ou réelle (continu).
2) Je vérifie que la variation est bien CONSTANTE d'une étape à la suivante.
3) J'écris u(n) = u(0) + n × r si le modèle est discret, f(x) = ax + b s'il est continu — où r et a sont cette variation constante, et u(0) ou b la valeur de départ.
Variable entière → suite. Variable réelle → fonction.
Croissance linéaire ⟺ accroissement constant.
Discret : u(n) = u(0) + n·r. Continu : f(x) = ax + b.
Question 1 — La hauteur d'une bougie qui brûle, mesurée en fonction du temps, est un phénomène :
Question 2 — Le nombre d'adhérents d'un club, relevé chaque mois, est un phénomène :
Question 3 — Une grandeur passe de 100 à 112, puis 124, puis 136. Sa croissance est :
Convertir des degrés Celsius en degrés Fahrenheit, calculer le coût de production de x milliers de stylos : ces situations se décrivent toutes par la même écriture, apprise en seconde et qu'il suffit ici de remobiliser.
Une FONCTION AFFINE f est définie sur ℝ par f(x) = ax + b, où a et b sont deux réels. Sa représentation graphique est une DROITE, dont a est le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine.
Le TAUX D'ACCROISSEMENT de f entre deux abscisses distinctes x₁ et x₂ vaut (f(x₂) − f(x₁)) ÷ (x₂ − x₁), et il est toujours égal à a : c'est ce qui caractérise une croissance linéaire continue.
Le signe de a donne le sens de variation : si a > 0 la fonction est croissante sur ℝ, si a < 0 elle est décroissante.
Méthode — déterminer une fonction affine à partir de deux valeurs.
1) Je calcule a comme taux d'accroissement entre les deux abscisses connues.
2) Je remplace x et f(x) par les coordonnées de l'un des deux points dans f(x) = ax + b.
3) Je résous l'équation obtenue pour trouver b.
Exemple : f(3) = 6 et f(6) = −3 donnent a = (−3 − 6) ÷ (6 − 3) = −3, puis 6 = −3 × 3 + b, soit b = 15, d'où f(x) = −3x + 15.
Conversion Celsius-Fahrenheit : l'eau gèle à 0 °C = 32 °F et bout à 100 °C = 212 °F.
a = (212 − 32) ÷ 100 = 1,8 et b = 32, donc f(x) = 1,8x + 32.
Température du corps : f(37) = 1,8 × 37 + 32 = 98,6 °F.
Contre-exemple : toutes les expressions ne sont pas affines.
k(x) = 3 − 1/x n'est pas affine : la variable est au dénominateur, et k n'est même pas définie en 0.
Attention toutefois aux apparences : g(x) = (x + 3)² − x² se développe en 6x + 9. Il faut DÉVELOPPER avant de conclure — g est bien affine.
f(x) = ax + b · a = taux d'accroissement · b = f(0).
a = (f(x₂) − f(x₁)) ÷ (x₂ − x₁), puis b en remplaçant un point.
a > 0 : croissante · a < 0 : décroissante.
Question 1 — f est affine, f(2) = 7 et f(5) = 16. Que vaut son coefficient directeur ?
Question 2 — Pour cette même fonction, que vaut b ?
Question 3 — Laquelle de ces expressions ne définit PAS une fonction affine ?
Un graphique répond souvent plus vite qu'un calcul — à condition de savoir dans quel sens le lire. Voici les deux lectures utiles : d'une abscisse vers une ordonnée, et d'une ordonnée vers une abscisse.
Une suite arithmétique se représente par un NUAGE de points alignés de coordonnées (n ; u(n)) ; une fonction affine par une DROITE complète. Dans les deux cas, la pente est le taux d'accroissement, et l'ordonnée à l'origine la valeur de départ.
RÉSOUDRE GRAPHIQUEMENT f(x) = k, c'est repérer l'ordonnée k sur l'axe vertical et lire les abscisses des points de la courbe à cette hauteur. Résoudre f(x) ⩾ k, c'est repérer les abscisses pour lesquelles la courbe est AU-DESSUS de cette hauteur.
Sur la droite ci-dessus, f(0) = 250 et f(10) = 0, donc le coefficient directeur vaut (0 − 250) ÷ 10 = −25 : f(x) = −25x + 250.
f(x) = 100 se lit en x = 6.
f(x) ⩾ 150 correspond aux abscisses situées à GAUCHE de 4, puisque la droite descend : on lit x ⩽ 4.
Offre et demande : la droite croissante est l'offre, plus le prix monte plus les producteurs veulent vendre ; la droite décroissante est la demande.
Au prix de 6 €, l'offre est de 5 milliers d'unités et la demande de 15 milliers : la demande dépasse l'offre.
Le POINT D'ÉQUILIBRE est leur intersection, ici (10 ; 8) : au prix de 8 €, producteurs et consommateurs s'accordent sur 10 milliers d'unités.
Contre-exemple : ne pas confondre les deux axes.
« Quelle quantité au prix de 6 € ? » se lit en partant de l'ORDONNÉE 6, pas de l'abscisse 6. Partir du mauvais axe donne ici un prix au lieu d'une quantité.
f(x) = k : de l'ordonnée vers l'abscisse. f(x) ⩾ k : la courbe est au-dessus.
Pente = taux d'accroissement · ordonnée à l'origine = valeur de départ.
Point d'équilibre = intersection de deux droites.
Question 1 — Sur la droite du cours, f(x) = 100 a pour solution :
Question 2 — Combien de points suffisent pour tracer la droite d'une fonction affine ?
Question 3 — Sur le graphique offre-demande, que représente le point d'intersection ?
« À partir de quelle année ? », « au bout de combien de mois ? », « combien de séances pour que l'abonnement soit rentable ? » : toutes ces questions sont des problèmes de SEUIL, et se traitent de la même manière.
Résoudre un PROBLÈME DE SEUIL, c'est déterminer à partir de quel rang, ou de quelle valeur de la variable, une grandeur dépasse — ou passe sous — une valeur fixée.
On écrit une INÉQUATION, on la résout, puis on interprète le résultat dans la situation : si la variable est un rang entier, on prend l'entier immédiatement supérieur à la valeur trouvée.
Méthode — déterminer un seuil.
1) J'écris l'inéquation traduisant la question, par exemple 15n + 8 > 100.
2) Je la résous dans les réels : 15n > 92, donc n > 92/15 ≈ 6,13.
3) Si n est un RANG, je prends le premier entier qui convient, ici n = 7.
4) Je vérifie : u(6) = 98 ne dépasse pas 100, tandis que u(7) = 113 le dépasse ✓.
Contre-exemple : la même inéquation, deux réponses différentes.
Pour une SUITE, 120 + 7n > 200 donne n > 11,43… : la réponse est le rang 12, car un rang est entier.
Pour une FONCTION continue, 120 + 7t > 200 donne t > 11,43… : la réponse est la valeur exacte 80/7 heures, soit environ 11 h 26 min. Reconnaître si le phénomène est discret ou continu change donc le résultat.
Seuil → inéquation → résolution → interprétation.
Rang entier : on prend l'entier immédiatement supérieur.
Division par un négatif : l'inégalité change de sens.
Question 1 — u(n) = 25 + 12n. Quel est le plus petit rang tel que u(n) > 200 ?
Question 2 — On résout −5x + 40 ⩾ 15. Quelle est la solution ?
Question 3 — Un modèle continu donne t > 11,43 heures. Quelle est la réponse à donner ?
Ton mémo complet est dans l’encadré « Mémo ». Prêt·e pour les défis ?