Niveau 1ʳᵉ · Cours
🎯 À la fin de ce chapitre, je sais : calculer aˣ pour un exposant réel positif · utiliser les propriétés algébriques des puissances à exposant réel · déterminer le sens de variation d'une fonction x ↦ k·aˣ et reconnaître sa courbe · modéliser un phénomène continu de croissance ou décroissance exponentielle.
Une suite géométrique donne le capital au bout de 1 an, 2 ans, 3 ans… mais pas au bout de six mois. La fonction exponentielle comble ces trous : elle PROLONGE la suite géométrique aux exposants non entiers, et permet de décrire une grandeur qui évolue à chaque instant.
Un capital placé à 4 % rapporte 5 000 × 1,04ⁿ euros au bout de n années. Mais quelle est sa valeur au bout de six mois ? La suite ne répond pas : 1,04^0,5 n'a pas de sens pour elle. La fonction exponentielle, si.
Soit a un réel strictement positif. On appelle FONCTION EXPONENTIELLE DE BASE a la fonction f définie par f(x) = aˣ pour tout réel x ⩾ 0.
Lorsque x est un entier, aˣ est la puissance ordinaire de a. Pour les autres valeurs de x, on obtient aˣ à la calculatrice, avec la touche « puissance ».
Les fonctions x ↦ k × aˣ, avec k > 0, sont exactement le PROLONGEMENT des suites géométriques : si u est géométrique de raison a et de premier terme u(0) = k, alors f(n) = u(n) pour tout entier n.
Soit f(x) = 4 × 2ˣ. Alors f(0) = 4 × 1 = 4 et f(3) = 4 × 8 = 32.
f(1,5) = 4 × 2^1,5 ≈ 11,31, valeur qu'aucune suite ne pouvait donner.
Pour la suite géométrique u de raison 1,5 et de premier terme 2, et la fonction f(x) = 2 × 1,5ˣ : u(2) = 4,5 et f(2) = 4,5 — elles coïncident bien aux rangs entiers.
Contre-exemple : la base doit être STRICTEMENT POSITIVE.
Écrire (−2)ˣ n'a pas de sens pour un exposant non entier : (−2)^0,5 serait la racine carrée de −2, qui n'existe pas dans ℝ.
Par ailleurs, pour a > 0, aˣ est toujours strictement positif : une fonction exponentielle ne s'annule jamais et ne devient jamais négative.
Méthode — retrouver k et a à partir de deux valeurs.
1) f(0) = k × a⁰ = k : la valeur en 0 donne directement k.
2) f(1) = k × a, donc a = f(1) ÷ f(0).
3) J'écris f(x) = k × aˣ et je vérifie sur une troisième valeur si j'en dispose.
f(x) = k × aˣ avec a > 0 et k > 0 · f(0) = k · f(1) = k × a.
a = f(1) ÷ f(0) : c'est la raison de la suite géométrique prolongée.
aˣ est toujours strictement positif.
Question 1 — Soit f(x) = 6 × 3ˣ. Que vaut f(0) ?
Question 2 — Une fonction x ↦ k × aˣ avec k > 0 et a > 0 peut-elle prendre une valeur négative ?
Question 3 — Une courbe de la forme y = k × aˣ passe par (0 ; 5) et (1 ; 15). Que vaut a ?
Bonne nouvelle : les règles de calcul apprises en seconde pour les puissances entières restent valables pour les exposants réels. Le programme les ADMET, par extension.
Pour tous réels a et b strictement positifs et tous réels x et y : aˣ × aʸ = aˣ⁺ʸ · aˣ ÷ aʸ = aˣ⁻ʸ · (aˣ)ʸ = aˣ×ʸ.
Et aussi, quand les EXPOSANTS sont égaux mais les bases différentes : aˣ × bˣ = (a × b)ˣ · aˣ ÷ bˣ = (a ÷ b)ˣ.
Enfin a⁰ = 1, a¹ = a et a⁻ˣ = 1 ÷ aˣ.
2⁴ × 2^1,5 = 2^5,5 : même base, on ADDITIONNE les exposants.
3⁵ ÷ 3^3,5 = 3^1,5 : même base, on SOUSTRAIT les exposants.
(0,6^0,2)¹⁵ = 0,6^0,2×15 = 0,6³ : puissance de puissance, on MULTIPLIE les exposants.
7^3,1 × 3^3,1 = 21^3,1 : même exposant, on multiplie les BASES.
Contre-exemple : deux erreurs fréquentes.
aˣ × aʸ n'est PAS aˣ×ʸ : avec a = 2, x = 3 et y = 2, on a 2³ × 2² = 32, alors que 2⁶ = 64.
aˣ + aˣ n'est PAS a²ˣ : c'est 2 × aˣ. Les puissances ne s'additionnent pas comme elles se multiplient.
Méthode — simplifier une expression exponentielle.
1) Je regarde si les BASES sont identiques : alors j'additionne ou je soustrais les exposants.
2) Sinon, je regarde si les EXPOSANTS sont identiques : alors je regroupe les bases.
3) Sinon, j'essaie de ramener toutes les bases à une base commune, en écrivant par exemple 8 = 2³ et 4 = 2².
4) Je n'oublie pas que a s'écrit a¹.
Même base : aˣ × aʸ = aˣ⁺ʸ, aˣ ÷ aʸ = aˣ⁻ʸ, (aˣ)ʸ = aˣʸ.
Même exposant : aˣ × bˣ = (ab)ˣ, aˣ ÷ bˣ = (a/b)ˣ.
a⁰ = 1 · a¹ = a · a⁻ˣ = 1/aˣ.
Question 1 — Simplifie 5^2,3 × 5^1,7.
Question 2 — Simplifie 6^2,5 ÷ 2^2,5.
Question 3 — Simplifie (3^0,4)⁵.
Comme pour les suites géométriques, tout se joue par rapport à 1 : une base supérieure à 1 fait croître, une base entre 0 et 1 fait décroître. Le coefficient k, lui, ne change que la hauteur de départ.
Soient k > 0 et a > 0, et f définie sur ℝ⁺ par f(x) = k × aˣ. Si a > 1, f est strictement CROISSANTE sur ℝ⁺. Si 0 < a < 1, f est strictement DÉCROISSANTE.
Dans les deux cas, la courbe passe par le point (0 ; k) et reste entièrement au-dessus de l'axe des abscisses.
Sur la figure, f(x) = 2ˣ a une base 2 supérieure à 1 : sa courbe monte, de plus en plus vite. On lit f(3) = 8.
g(x) = 16 × 0,5ˣ a une base 0,5 comprise entre 0 et 1 : sa courbe descend, en s'aplatissant. On lit g(1) = 8.
Les deux courbes se croisent en (2 ; 4) : à cet instant, les deux grandeurs sont égales.
Contre-exemple : le coefficient k ne décide de rien.
Sur cette seconde courbe, f(0) = 2 donne k = 2, et f(1) = 3 donne a = 3 ÷ 2 = 1,5 : la fonction est f(x) = 2 × 1,5ˣ, croissante.
Une fonction 100 × 0,9ˣ part beaucoup plus haut, mais décroît : c'est la base qui commande, pas la hauteur de départ.
Méthode — associer une courbe à une expression.
1) Je lis l'ordonnée à l'origine : elle vaut k, ce qui élimine déjà les expressions dont le coefficient ne correspond pas.
2) Je regarde si la courbe monte ou descend : cela me dit si a est supérieur ou inférieur à 1.
3) Si plusieurs candidates restent, je vérifie une seconde valeur, par exemple f(1).
a > 1 → croissante · 0 < a < 1 → décroissante.
La courbe passe par (0 ; k) et reste au-dessus de l'axe des abscisses.
Le coefficient k fixe la hauteur de départ, la base a fixe le comportement.
Question 1 — La fonction x ↦ 6 × 0,7ˣ est :
Question 2 — La fonction x ↦ 2 × 1,05ˣ est :
Question 3 — Deux courbes y = 3 × 1,2ˣ et y = 1,2ˣ diffèrent par :
Désintégration radioactive, capital à intérêts composés, propagation d'une rumeur : dès qu'une grandeur évolue à un POURCENTAGE constant et existe à chaque instant, elle se modélise par une fonction exponentielle.
Une grandeur évoluant à taux constant t se modélise par f(x) = k × aˣ, où k est la valeur initiale et a = 1 + t/100 le coefficient multiplicateur associé au taux.
Réciproquement, à partir d'un modèle f(x) = k × aˣ, le taux d'évolution par unité de temps se retrouve par a − 1, et se lit aussi comme (f(1) − f(0)) ÷ f(0).
Une revue lancée avec 1 000 abonnés, en hausse de 20 % par an : k = 1 000 et a = 1,2, donc f(x) = 1 000 × 1,2ˣ.
Au 1ᵉʳ juillet de la troisième année, soit x = 2,5, f(2,5) ≈ 1 577 abonnés — une valeur qu'une suite n'aurait pas su donner.
Un échantillon d'iode 131 : N(t) = 5 × 0,917^t millions de noyaux. La base 0,917 étant inférieure à 1, c'est une décroissance exponentielle.
Contre-exemple : distinguer les quatre cas.
« Une hauteur d'eau qui monte de 2 cm par minute » : continu, mais LINÉAIRE — on ajoute une quantité fixe, donc une fonction affine.
« Des abonnés comptés chaque année, en hausse de 20 % » : exponentiel, mais DISCRET — une suite géométrique suffit.
Il faut donc répondre à deux questions distinctes : la variable est-elle entière ou réelle, et la grandeur est-elle multipliée ou augmentée d'une quantité fixe ?
Méthode — construire un modèle exponentiel.
1) Je repère la valeur INITIALE : c'est k.
2) Je repère le TAUX d'évolution par unité de temps et j'en déduis le coefficient multiplicateur a = 1 + t/100.
3) J'écris f(x) = k × aˣ en précisant ce que représente x.
4) Je vérifie sur une valeur connue.
Taux constant → f(x) = k × aˣ avec a = 1 + t/100.
Continu + exponentiel → fonction · discret + exponentiel → suite géométrique.
Toujours confronter le résultat au bon sens de la situation.
Question 1 — Une population de 4 000 individus diminue de 15 % par an. Quel modèle ?
Question 2 — Dans le modèle f(x) = 2 500 × 1,04ˣ, quel est le taux d'évolution par unité de temps ?
Question 3 — Une masse mesurée à tout instant diminue de 3 % par heure. Le modèle est :
Ton mémo complet est dans l’encadré « Mémo ». Prêt·e pour les défis ?