Niveau 1ʳᵉ · Cours
🎯 À la fin de ce chapitre, je sais : reconnaître une suite géométrique et calculer ses termes de proche en proche · exprimer le terme de rang n · déterminer son sens de variation et la représenter · modéliser par une suite géométrique une évolution à taux constant.
Une suite arithmétique AJOUTE toujours le même nombre. Une suite géométrique MULTIPLIE toujours par le même nombre. Ce simple changement transforme complètement le comportement : c'est la différence entre un compte qu'on alimente de 50 € par mois et un capital qui rapporte 3 % par an, entre une population qui gagne 1 000 habitants par an et une épidémie qui double chaque semaine.
Le nombre de bactéries d'un échantillon augmente de 50 % chaque jour. De 2 000 on passe à 3 000, puis à 4 500, puis à 6 750 : les écarts, 1 000 puis 1 500 puis 2 250, ne cessent de grandir. Ce n'est donc pas une suite arithmétique — mais quelque chose reste constant : le RAPPORT entre deux termes consécutifs.
Une suite u est GÉOMÉTRIQUE s'il existe un réel q tel que u(n + 1) = q × u(n) pour tout entier naturel n. Le nombre q s'appelle la RAISON de la suite.
Autrement dit : on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre. De manière équivalente, le QUOTIENT de deux termes consécutifs est constant.
Dans tout ce chapitre, les suites géométriques considérées sont à TERMES STRICTEMENT POSITIFS : leur premier terme et leur raison sont positifs.
1 ; 3 ; 9 ; 27 … : on multiplie par 3 à chaque étape, la suite est géométrique de raison 3.
48 ; 24 ; 12 ; 6 … : chaque terme est la moitié du précédent, la raison vaut 0,5.
2 ; 3 ; 4,5 ; 6,75 … : les quotients 3/2, 4,5/3 et 6,75/4,5 valent tous 1,5 — c'est une hausse de 50 % à chaque étape.
Contre-exemple : 2 ; 4 ; 6 ; 8 … n'est PAS géométrique.
Les quotients successifs valent 4/2 = 2, puis 6/4 = 1,5, puis 8/6 ≈ 1,33 : ils ne sont pas constants. Cette suite ajoute 2 à chaque étape, elle est ARITHMÉTIQUE.
Attention au piège : les deux premiers termes, 2 et 4, pourraient faire croire à une raison 2. Il faut vérifier TOUS les quotients.
Méthode — reconnaître le type d'une suite.
1) Je calcule les DIFFÉRENCES entre termes consécutifs. Si elles sont toutes égales, la suite est arithmétique.
2) Sinon, je calcule les QUOTIENTS. S'ils sont tous égaux, la suite est géométrique et ce quotient commun est la raison.
3) Si ni les différences ni les quotients ne sont constants, la suite n'est ni l'une ni l'autre.
Géométrique ⟺ u(n + 1) = q × u(n), la même raison q à chaque étape.
Arithmétique : on AJOUTE. Géométrique : on MULTIPLIE.
Une hausse de t % donne la raison 1 + t/100.
Question 1 — La suite 5 ; 15 ; 45 ; 135 … est :
Question 2 — Une quantité diminue de 20 % à chaque période. Quelle est la raison de la suite ?
Question 3 — Comment distinguer une suite arithmétique d'une suite géométrique ?
Calculer le vingtième terme en multipliant vingt fois de suite serait fastidieux. Comme pour les suites arithmétiques, une formule explicite permet d'atteindre directement n'importe quel rang.
Soit u une suite géométrique de raison q. Si le premier terme est u(0), alors u(n) = u(0) × qⁿ.
Si le premier terme est u(1), alors u(n) = u(1) × qⁿ⁻¹ : l'exposant compte le NOMBRE D'ÉTAPES effectuées depuis le premier terme.
u géométrique de raison 3 avec u(0) = 5 : u(n) = 5 × 3ⁿ, donc u(4) = 5 × 81 = 405.
s géométrique de raison 0,5 avec s(0) = 4 : s(n) = 4 × 0,5ⁿ, donc s(3) = 4 × 0,125 = 0,5.
t géométrique de raison 2 avec t(1) = 1 : t(n) = 1 × 2ⁿ⁻¹, donc t(4) = 2³ = 8.
Contre-exemple : ne pas confondre les deux formules.
Avec la relation u(n) = u(0) × qⁿ appliquée à une suite qui commence au rang 1, on décalerait toute la suite d'un cran. Pour t(1) = 1 et q = 2, écrire t(4) = 1 × 2⁴ = 16 est FAUX : la bonne réponse est 2³ = 8.
Le réflexe : je compte les étapes. De t(1) à t(4), il y en a 3.
Méthode — trouver la raison à partir de deux termes.
1) Je compte le nombre d'ÉTAPES entre les deux rangs : de u(0) à u(4), il y en a 4.
2) Je calcule le quotient des deux termes : u(4) ÷ u(0) = 4,05 ÷ 0,8 = 5,0625.
3) Ce quotient vaut q⁴. Comme 1,5⁴ = 5,0625 et que la suite est à termes positifs, la raison est 1,5.
u(n) = u(0) × qⁿ, ou u(n) = u(1) × qⁿ⁻¹.
u(n) ÷ u(p) = qⁿ⁻ᵖ : le quotient de deux termes donne une puissance de la raison.
L'exposant compte les étapes, pas les termes.
Question 1 — u est géométrique, u(0) = 2 et q = 3. Que vaut u(4) ?
Question 2 — t est géométrique, t(1) = 5 et q = 2. Que vaut t(4) ?
Question 3 — u est géométrique à termes positifs, u(0) = 3 et u(2) = 27. Que vaut la raison ?
Pour une suite arithmétique, tout se jouait au signe de la raison, par rapport à 0. Pour une suite géométrique à termes positifs, tout se joue par rapport à 1 : multiplier par un nombre plus grand que 1 fait grandir, par un nombre entre 0 et 1 fait diminuer.
Soit u une suite géométrique de raison q et de premier terme strictement positif. Si q > 1, la suite est CROISSANTE. Si 0 < q < 1, elle est DÉCROISSANTE. Si q = 1, elle est constante.
REPRÉSENTATION : on place les points de coordonnées (n ; u(n)). Contrairement à une suite arithmétique, ces points ne sont PAS alignés : la courbe qu'ils dessinent s'incurve, de plus en plus vite si q > 1, en se rapprochant de l'axe des abscisses si 0 < q < 1.
Ci-dessus, u(n) = 2ⁿ avec u(0) = 1 : la raison 2 est supérieure à 1, la suite croît.
On lit u(2) = 4 et u(4) = 16. L'écart entre deux points consécutifs vaut 1, puis 2, puis 4, puis 8 : il DOUBLE lui aussi.
Contre-exemple : une suite qui décroît sans jamais atteindre 0.
Avec v(n) = 16 × 0,5ⁿ, la raison 0,5 est comprise entre 0 et 1 : la suite décroît. On lit v(1) = 8 et v(3) = 2.
Mais elle ne vaudra jamais 0 : la moitié d'un nombre strictement positif reste strictement positive. C'est une différence de fond avec une suite arithmétique décroissante, qui finit toujours par devenir négative.
Linéaire contre exponentiel : la droite représente la suite arithmétique a(n) = 5n, les points la suite géométrique g(n) = 2ⁿ.
Au rang 4, a(4) = 20 dépasse encore g(4) = 16.
Au rang 5, g(5) = 32 dépasse a(5) = 25 — et l'écart ne cesse ensuite de se creuser : au rang 6, 64 contre 30. Une croissance exponentielle démarre souvent lentement, mais finit TOUJOURS par l'emporter.
q > 1 → croissante · 0 < q < 1 → décroissante · q = 1 → constante.
Points NON alignés : la croissance s'accélère, la décroissance s'aplatit.
Une croissance exponentielle finit toujours par dépasser une croissance linéaire.
Question 1 — Une suite géométrique à termes positifs de raison 0,97 est :
Question 2 — Les points représentant une suite géométrique de raison 2 sont-ils alignés ?
Question 3 — Une suite géométrique à termes positifs de raison 0,5 peut-elle devenir négative ?
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