Niveau 1ʳᵉ · Cours
🎯 À la fin de ce chapitre, je sais : ce qu'est une suite et comment se lisent les notations u(n) et uₙ · reconnaître une suite arithmétique et calculer ses termes de proche en proche · exprimer le terme de rang n · déterminer le sens de variation d'une suite arithmétique et la représenter graphiquement.
Une SUITE est un objet mathématique nouveau : rien de tel n'a été vu au collège ni en seconde. Elle sert à décrire une grandeur qui n'évolue qu'à des instants isolés — un solde de compte mois par mois, le nombre de rangées d'un mur, une distance d'entraînement semaine après semaine.
Un maçon monte un mur : 48 briques à la première rangée, 45 à la deuxième, 42 à la troisième… Le nombre de briques dépend du numéro de la rangée, qui est un ENTIER. Il ne peut pas y avoir de rangée n° 2,5 : c'est exactement la situation que décrit une suite.
Une SUITE u est une fonction définie sur ℕ : à tout entier naturel n, elle associe un réel noté u(n). Ce nombre s'appelle le TERME DE RANG n, ou terme général de la suite.
On note aussi la suite (uₙ), et son terme de rang n uₙ. Les deux écritures u(n) et uₙ désignent exactement le même nombre : la première rappelle qu'une suite est une fonction, la seconde est plus courte.
Une suite peut être définie à partir d'un certain rang, par exemple à partir du rang 1 plutôt que du rang 0.
Soit u la suite définie sur ℕ par u(n) = 7n − 1.
u(0) = 7 × 0 − 1 = −1 · u(1) = 7 × 1 − 1 = 6 · u(4) = 7 × 4 − 1 = 27.
On calcule un terme exactement comme une image de fonction : on remplace n par le rang voulu.
Contre-exemple : ce n'est pas parce que u(3) existe que u(2,5) existe.
Une suite n'est définie que pour les entiers naturels. Écrire u(2,5) n'a aucun sens, alors que f(2,5) en aurait un pour une fonction définie sur ℝ.
Attention aussi au décalage : si la suite commence au rang 0, le terme u(3) est le QUATRIÈME calculé, pas le troisième.
Méthode — deux façons de définir une suite.
1) Par une relation FONCTIONNELLE, u(n) = 5 − 4n : on calcule directement n'importe quel terme.
2) Par une relation de RÉCURRENCE, u(0) = 5 et u(n + 1) = u(n) − 4 : on obtient chaque terme à partir du précédent, sans pouvoir sauter d'étape.
Ces deux définitions décrivent ici la MÊME suite : 5 ; 1 ; −3 ; −7 ; …
Une suite est une fonction définie sur ℕ ; u(n) et uₙ, c'est pareil.
Relation fonctionnelle → calcul direct. Relation de récurrence → de proche en proche.
Le rang du premier terme, 0 ou 1, est une information essentielle.
Question 1 — Soit u la suite définie par u(n) = 3 − 2n. Que vaut u(4) ?
Question 2 — Sur quel ensemble une suite est-elle définie ?
Question 3 — Une suite est définie par v(0) = 3 et v(n + 1) = v(n) + 5. Peut-on calculer v(100) sans les termes précédents ?
Le maçon retire toujours exactement 3 briques d'une rangée à la suivante. Issa ajoute toujours exactement 5 km d'une semaine à l'autre. Cette régularité — le même écart à chaque étape — définit une famille de suites très commode.
Une suite u est ARITHMÉTIQUE s'il existe un réel r tel que u(n + 1) = u(n) + r pour tout entier naturel n. Le nombre r s'appelle la RAISON de la suite.
Autrement dit : on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, ou encore, la DIFFÉRENCE entre deux termes consécutifs est constante.
TERME DE RANG n : si le premier terme est u(0), alors u(n) = u(0) + n × r. Si le premier terme est u(1), alors u(n) = u(1) + (n − 1) × r.
La suite 7 ; 11 ; 15 ; 19 ; 23 … est arithmétique : les écarts valent 4 à chaque fois, sa raison est 4.
Soit u arithmétique avec u(0) = 15 et r = 1,5. Alors u(n) = 15 + 1,5n, donc u(10) = 15 + 15 = 30 sans calculer les neuf termes intermédiaires.
Soit v arithmétique avec v(1) = 5 et r = 25. Alors v(n) = 5 + 25(n − 1) = 25n − 20, donc v(4) = 80.
Contre-exemple : deux suites qui ne sont PAS arithmétiques.
3 ; 8 ; 11 ; 16 ; 19 ; 24 … : les écarts valent 5, 3, 5, 3, 5. Ils ne sont pas constants — un seul écart identique ne suffit pas, il faut les vérifier tous.
3 ; 6 ; 12 ; 24 ; 48 … : on MULTIPLIE par 2 à chaque étape, les écarts 3, 6, 12, 24 grandissent. Cette suite est géométrique, objet d'un chapitre ultérieur.
Méthode — trouver la raison à partir de deux termes.
1) Je compte le nombre d'ÉTAPES entre les deux rangs : de u₃ à u₇, il y en a 7 − 3 = 4.
2) Je calcule la différence des deux termes : u₇ − u₃ = 21 − 45 = −24.
3) Je divise : r = −24 ÷ 4 = −6.
4) Je reviens au premier terme : u₀ = u₃ − 3r = 45 + 18 = 63, d'où u(n) = 63 − 6n.
Arithmétique ⟺ u(n + 1) = u(n) + r, la même raison r à chaque étape.
u(n) = u(0) + n × r, ou u(n) = u(1) + (n − 1) × r.
Raison à partir de deux termes : différence des termes ÷ nombre d'étapes.
Question 1 — La suite 5 ; 12 ; 19 ; 26 … est-elle arithmétique ?
Question 2 — u est arithmétique, u(0) = 4 et r = −3. Que vaut u(6) ?
Question 3 — u est arithmétique avec u₂ = 10 et u₆ = 26. Que vaut la raison ?
Une suite arithmétique ne peut pas monter puis descendre : comme elle ajoute toujours le même nombre, son comportement est décidé une fois pour toutes par le signe de la raison.
Soit u une suite arithmétique de raison r. Si r > 0, la suite est CROISSANTE : chaque terme est supérieur au précédent. Si r < 0, elle est DÉCROISSANTE. Si r = 0, elle est constante.
REPRÉSENTATION : on place les points de coordonnées (n ; u(n)). Pour une suite arithmétique, ces points sont ALIGNÉS, et la droite qui les porte a pour coefficient directeur la raison r et pour ordonnée à l'origine le terme u(0).
Ci-dessus, u(0) = −10 et r = 5 : la suite est croissante.
On lit u(3) = 5 et u(4) = 10 directement sur les points.
La droite tracée a pour coefficient directeur 5, qui est la raison, et coupe l'axe vertical en −10, qui est le premier terme.
Contre-exemple : ce que la droite ne dit PAS.
Sur ce second graphique, vₙ = 1,2 − 0,4n : la raison −0,4 est négative, la suite est décroissante.
La droite passe par le point d'abscisse 2,5 — mais v(2,5) n'existe pas ! Une suite n'a de valeur qu'aux rangs entiers. La droite ne sert qu'à faire VOIR l'alignement, elle ne fait pas partie de la représentation de la suite.
Méthode — lire une suite arithmétique sur un graphique.
1) Le point le plus à gauche a pour abscisse le premier rang : son ordonnée est le premier terme.
2) La raison se lit comme la montée entre deux points consécutifs : quand l'abscisse augmente de 1, de combien l'ordonnée varie-t-elle ?
3) Le signe de cette variation donne le sens de variation.
r > 0 → croissante · r < 0 → décroissante · r = 0 → constante.
Points (n ; u(n)) alignés ; la droite a pour pente r et pour ordonnée à l'origine u(0).
La suite n'existe qu'aux rangs entiers.
Question 1 — Une suite arithmétique a pour premier terme 1 000 et pour raison −2. Elle est :
Question 2 — Pourquoi les points représentant une suite arithmétique sont-ils alignés ?
Question 3 — Sur le graphique d'une suite arithmétique, que représente l'ordonnée à l'origine de la droite ?
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