Niveau 1ʳᵉ · Cours
🎯 À la fin de ce chapitre, je sais : calculer une fréquence marginale et une fréquence conditionnelle dans un tableau croisé · calculer une probabilité conditionnelle et distinguer p(A ∩ B), p_A(B) et p_B(A) · construire un arbre pondéré et calculer la probabilité d'un chemin · additionner les chemins qui mènent à un même événement · choisir entre un tableau et un arbre.
Tu as déjà croisé ces notions en seconde. Le programme de première les range parmi les AUTOMATISMES : elles doivent devenir des réflexes, parce que tout le reste — l'indépendance, la répétition d'épreuves — s'appuie dessus. Ce chapitre remet donc l'outil en main, en insistant sur le point qui coûte le plus de points : savoir ce qu'on divise par quoi.
Un lycée technologique compte 134 élèves : 69 en STMG, 31 en STI2D, 34 en ST2S, dont 65 garçons et 69 filles. « Quelle est la fréquence des garçons ? » et « parmi les élèves de STMG, quelle est la fréquence des garçons ? » sont deux questions différentes, et elles n'ont pas la même réponse.
La FRÉQUENCE d'un caractère est l'effectif de la sous-population qui le vérifie, divisé par l'effectif total : fréquence = effectif ÷ effectif total. Elle est toujours comprise entre 0 et 1, et s'écrit indifféremment en fraction, en décimal ou en pourcentage.
Une FRÉQUENCE MARGINALE est une fréquence dans la population TOTALE : son dénominateur est le grand total du tableau, celui qui figure dans les marges.
Une FRÉQUENCE CONDITIONNELLE est une fréquence dans une SOUS-POPULATION : son dénominateur est le total d'une ligne ou d'une colonne.
Fréquence marginale : la part d'élèves en STMG dans le lycée vaut 69 ÷ 134 ≈ 0,51, soit environ 51 %.
Fréquence conditionnelle : parmi les élèves de STMG, la part de garçons vaut 32 ÷ 69 ≈ 0,46, soit environ 46 %.
Même tableau, mais deux dénominateurs différents : 134 dans le premier cas, 69 dans le second.
Contre-exemple : deux fréquences qu'on confond souvent.
Dans un groupe de campings, 114 sont à la mer AVEC animations. Parmi les 144 campings à la mer, 114 ÷ 144 ≈ 79,2 % proposent des animations.
Mais parmi les 130 campings avec animations, 114 ÷ 130 ≈ 87,7 % sont à la mer. Même numérateur, deux réponses : c'est l'ordre des mots dans la question qui décide du dénominateur.
Méthode — calculer une fréquence dans un tableau croisé.
1) Je repère la sous-population dont on parle : c'est le NUMÉRATEUR.
2) Je cherche le mot « parmi », ou « sachant que ». S'il est là, la référence est une ligne ou une colonne ; sinon, c'est le total.
3) Je divise et je convertis si l'énoncé demande un pourcentage.
Fréquence = effectif ÷ effectif de référence, toujours entre 0 et 1.
Marginale → on divise par le total ; conditionnelle → par un total de ligne ou de colonne.
« Parmi » est le mot qui change le dénominateur.
Question 1 — Une fréquence marginale se calcule en divisant par :
Question 2 — Sur 200 campings, 130 ont des animations et 114 d'entre eux sont à la mer. Parmi les campings avec animations, quelle est la fréquence de ceux à la mer ?
Question 3 — Un élève trouve une fréquence de 1,4. Que peut-on en conclure ?
Une information nouvelle change une probabilité. La probabilité qu'un chat soit malade n'est pas la même avant et après avoir su que son test est positif. C'est exactement ce que mesure une probabilité conditionnelle.
Soient A et B deux événements, B de probabilité non nulle. La PROBABILITÉ DE A SACHANT B se note p_B(A) et vaut p_B(A) = p(A ∩ B) ÷ p(B).
En situation d'équiprobabilité, cette formule se lit directement sur un tableau d'effectifs : p_B(A) est le nombre d'issues dans A ∩ B divisé par le nombre d'issues dans B.
En multipliant les deux membres par p(B), on obtient l'égalité très utile p(A ∩ B) = p(B) × p_B(A), qui vaut aussi p(A ∩ B) = p(A) × p_A(B).
Sur 157 pantalons, 83 sont noirs et 26 sont noirs de taille M.
p(N) = 83/157 ≈ 0,53 : c'est la probabilité qu'un pantalon pris au hasard soit noir.
p_N(M) = 26/83 ≈ 0,31 : sachant que le pantalon est noir, la probabilité qu'il soit de taille M. La référence est passée de 157 à 83.
Contre-exemple : trois écritures qu'on ne doit pas confondre.
p(A ∩ B) : la probabilité que les DEUX événements se réalisent, calculée sur toute la population.
p_A(B) : la probabilité de B, sachant que A est déjà réalisé — on divise par p(A).
p_B(A) : la probabilité de A, sachant que B est déjà réalisé — on divise par p(B). Ces deux dernières sont différentes dès que p(A) et p(B) le sont.
Méthode — calculer une probabilité conditionnelle.
1) Je repère l'événement qui est DÉJÀ RÉALISÉ : c'est lui qui passe en indice, et c'est sa probabilité qui va au dénominateur.
2) Je calcule p de l'intersection des deux événements.
3) Je divise. Sur un tableau d'effectifs, je peux directement diviser deux effectifs, sans passer par les probabilités.
p_B(A) = p(A ∩ B) ÷ p(B) : l'indice est ce qu'on sait déjà.
p(A ∩ B) = p(B) × p_B(A) = p(A) × p_A(B).
p_A(B) ≠ p_B(A) : renverser le conditionnement change le résultat.
Question 1 — Dans l'écriture p_B(A), quel événement est supposé déjà réalisé ?
Question 2 — On sait que p(C) = 0,45 et p(C ∩ D) = 0,2. Que vaut p_C(D) ?
Question 3 — On sait que p(F) = 0,2 et p_F(E) = 0,45. Que vaut p(F ∩ E) ?
Quand l'énoncé ne donne pas d'effectifs mais des proportions — « 40 % des chats sont porteurs, et parmi eux 90 % ont un test positif » — l'arbre pondéré est l'outil naturel : il range chaque information à sa place et rend les calculs mécaniques.
Dans un ARBRE DE PROBABILITÉS à deux niveaux, les branches du premier niveau portent p(A) et p(Ā) ; celles du second niveau portent les probabilités CONDITIONNELLES de B et B̄ sachant A, puis sachant Ā.
La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est toujours égale à 1.
PROBABILITÉ D'UN CHEMIN : on MULTIPLIE les probabilités des branches parcourues. Le chemin A puis B a pour probabilité p(A) × p_A(B), qui vaut p(A ∩ B).
PROBABILITÉ D'UN ÉVÉNEMENT DU SECOND NIVEAU : on ADDITIONNE les probabilités de tous les chemins qui y mènent. Ainsi p(B) = p(A ∩ B) + p(Ā ∩ B).
Sur l'arbre ci-dessus : p(C) = 0,25, p_C(D) = 0,4 et p_C̄(D) = 0,12.
Chemin C puis D : p(C ∩ D) = 0,25 × 0,4 = 0,1.
Chemin C̄ puis D : p(C̄ ∩ D) = 0,75 × 0,12 = 0,09.
Deux chemins mènent à D, donc p(D) = 0,1 + 0,09 = 0,19.
Contre-exemple : lire une donnée sur la mauvaise branche.
L'énoncé du dépistage dit : « lorsque le chat n'est pas porteur, son test est négatif dans 85 % des cas ». Ce 0,85 se place sur la branche M̄ → T̄, pas sur M̄ → T.
Sur la branche M̄ → T, on met donc 1 − 0,85 = 0,15 : la probabilité d'un faux positif. Placer 0,85 au mauvais endroit fausse tout le reste du calcul.
Méthode — construire et exploiter un arbre.
1) Je place au premier niveau l'événement dont je connais la probabilité SIMPLE.
2) Je place au second niveau les probabilités conditionnelles, celles que l'énoncé introduit par « parmi » ou « lorsque ».
3) Je complète chaque nœud pour que la somme des branches issues vaille 1.
4) Je multiplie le long d'un chemin, j'additionne entre chemins.
Somme des branches issues d'un nœud = 1.
Probabilité d'un chemin = PRODUIT des branches parcourues.
Probabilité d'un événement du second niveau = SOMME des chemins qui y mènent.
Question 1 — Sur un arbre, p(A) = 0,3 et p_A(B) = 0,6. Que vaut p(A ∩ B) ?
Question 2 — Deux branches partent d'un même nœud, l'une portant 0,35. Que porte l'autre ?
Question 3 — Comment calcule-t-on la probabilité d'un événement placé au second niveau ?
Tableau ou arbre ? Les deux disent la même chose, mais l'un des deux est presque toujours beaucoup plus rapide. Le critère de choix tient en une question : est-ce que je connais des effectifs ?
Si l'énoncé fournit des EFFECTIFS, on choisit le TABLEAU CROISÉ : on place les nombres connus, puis on complète par additions et soustractions à partir des marges.
Si l'énoncé ne fournit que des PROPORTIONS, en particulier introduites par « parmi » ou « lorsque », on choisit l'ARBRE PONDÉRÉ : ces proportions sont des probabilités conditionnelles, qui trouvent naturellement leur place au second niveau.
« Les deux tiers des amateurs de chocolat préfèrent le noir ; parmi ceux-là, la moitié le préfère aux amandes. » Aucun effectif : ARBRE.
« Sur 600 tirs, un tiers a eu lieu en match ; le gardien a arrêté 150 tirs au total. » Des effectifs : TABLEAU.
Contre-exemple : un énoncé qui ressemble à un arbre mais se traite au tableau.
« Une urne contient 49 boules numérotées de 1 à 49 ; la moitié des paires sont bleues, les deux cinquièmes des impaires sont jaunes. »
Les proportions y sont, mais les effectifs se calculent aussitôt : 24 paires et 25 impaires, donc 12 paires bleues et 10 impaires jaunes. Le tableau est ici plus rapide et donne des fractions exactes.
Méthode — décider en trois questions.
1) Combien d'événements sont en jeu ? S'il y en a deux, l'un des deux schémas convient.
2) Est-ce que je connais, ou peux-je calculer immédiatement, des effectifs ? Si oui → tableau.
3) Sinon, quelles proportions sont conditionnelles ? Elles iront au second niveau de l'arbre, et l'autre événement au premier.
Effectifs connus → tableau croisé. Proportions seules → arbre pondéré.
« Parmi », « lorsque », « sachant que » annoncent une probabilité conditionnelle.
Les deux schémas donnent toujours les mêmes résultats.
Question 1 — « 20 % des cartes sont des cartes d'attaque ; parmi elles, 5 % sont rares. » Quel schéma choisir ?
Question 2 — « Sur 132 skippers, un quart court en solo ; 5 skippers en solo sont en multicoque. » Quel schéma choisir ?
Question 3 — Un même problème traité au tableau et à l'arbre donne-t-il les mêmes résultats ?
Ton mémo complet est dans l’encadré « Mémo ». Prêt·e pour les défis ?