Niveau 2ⁿᵈᵉ · Cours
🎯 À la fin de ce chapitre, je sais : multiplier un vecteur par un réel · reconnaître deux vecteurs colinéaires · calculer un déterminant et l'utiliser pour prouver un alignement ou un parallélisme · démontrer une propriété de géométrie en raisonnant avec des vecteurs.
Tu sais calculer les coordonnées d'un vecteur, additionner deux vecteurs et utiliser la relation de Chasles. Ce chapitre ajoute une seule opération — la multiplication par un nombre — et en tire un outil de démonstration très efficace.
AB⃗ = (xB − xA ; yB − yA) : arrivée moins départ.
Chasles : AB⃗ + BC⃗ = AC⃗ ; I milieu de [AB] ⟺ AI⃗ = IB⃗.
Deux vecteurs sont égaux quand ils ont les mêmes coordonnées.
Dans un repère, tout raisonnement vectoriel se traduit en calculs sur les coordonnées.
Si un bateau maintient son cap et double sa vitesse, son déplacement en une heure garde la même direction mais devient deux fois plus long. Multiplier un vecteur par 2, c'est exactement cela.
Soit k un réel et u⃗(x ; y) un vecteur. Le vecteur k u⃗ a pour coordonnées (kx ; ky).
Sa DIRECTION est celle de u⃗. Son SENS est le même que celui de u⃗ si k > 0, l'opposé si k < 0. Sa LONGUEUR est celle de u⃗ multipliée par |k|.
Deux vecteurs u⃗ et v⃗ sont COLINÉAIRES lorsqu'il existe un réel k tel que v⃗ = k u⃗ (avec u⃗ non nul). Géométriquement, ils ont la même direction.
u⃗ et v⃗ = 2u⃗ sont colinéaires ; w⃗ ne l'est pas.
Si u⃗(3 ; −2), alors 4u⃗ = (12 ; −8) et −u⃗ = (−3 ; 2).
Le vecteur −2u⃗ = (−6 ; 4) est de sens opposé à u⃗ et deux fois plus long.
Contre-exemple : u⃗(2 ; 1) et w⃗(1 ; 3) ne sont pas colinéaires.
Pour passer de 2 à 1 il faudrait multiplier par 0,5, mais alors la seconde coordonnée donnerait 0,5 et non 3. Aucun réel k ne convient pour les DEUX coordonnées à la fois.
Méthode — tester la colinéarité « à vue ».
1) Je cherche le coefficient k qui transforme la première coordonnée : pour u⃗(2 ; 3) et v⃗(6 ; 9), k = 3.
2) Je vérifie qu'il convient aussi pour la seconde : 3 × 3 = 9 ✓.
3) Je conclus : v⃗ = 3u⃗, les vecteurs sont colinéaires.
k u⃗ = (kx ; ky) : même direction, sens conservé si k > 0, longueur multipliée par |k|.
u⃗ et v⃗ colinéaires ⟺ il existe k tel que v⃗ = k u⃗ ⟺ même direction.
Question 1 — u⃗(3 ; −2). Quelles sont les coordonnées de 4u⃗ ?
Question 2 — Les vecteurs u⃗(2 ; 3) et v⃗(6 ; 9) sont-ils colinéaires ?
Question 3 — Que peut-on dire du vecteur nul ?
Chercher « à vue » le coefficient k marche avec des nombres simples, mais devient pénible avec des fractions ou des décimaux — et impossible si une coordonnée est nulle. Le déterminant règle la question par un seul calcul.
Soient u⃗(x ; y) et v⃗(x' ; y'). Le DÉTERMINANT de u⃗ et v⃗ est le nombre det(u⃗, v⃗) = x y' − y x'.
PROPRIÉTÉ : u⃗ et v⃗ sont colinéaires si et seulement si det(u⃗, v⃗) = 0. On dit qu'on effectue un « produit en croix ».
A, B et C sont alignés : AC⃗ = 3 AB⃗, donc det(AB⃗, AC⃗) = 0.
Méthode — démontrer que trois points sont alignés.
1) Je calcule les coordonnées de deux vecteurs partant du même point : pour A(1 ; 1), B(3 ; 2) et C(7 ; 4), AB⃗ = (2 ; 1) et AC⃗ = (6 ; 3).
2) Je calcule le déterminant : 2 × 3 − 1 × 6 = 0.
3) Je conclus : les vecteurs sont colinéaires, donc les points A, B et C sont ALIGNÉS.
Méthode — démontrer que deux droites sont parallèles.
1) Je calcule un vecteur porté par chaque droite, par exemple AB⃗ et CD⃗.
2) Je calcule det(AB⃗, CD⃗).
3) S'il est nul, les droites (AB) et (CD) sont PARALLÈLES ; sinon elles sont sécantes.
Contre-exemple : det(u⃗, v⃗) = 0 ne signifie pas que les points sont confondus.
Avec u⃗(2 ; 1) et v⃗(1 ; 3), le déterminant vaut 2 × 3 − 1 × 1 = 5 ≠ 0 : les vecteurs ne sont pas colinéaires. Mais quand il est nul, cela prouve seulement une même DIRECTION, pas une superposition.
det(u⃗, v⃗) = x y' − y x' — le produit en croix.
Déterminant nul ⟺ vecteurs colinéaires ⟺ points alignés ou droites parallèles.
Question 1 — Quelle est la formule du déterminant de u⃗(x ; y) et v⃗(x' ; y') ?
Question 2 — u⃗(2 ; 1) et v⃗(6 ; 3). Que vaut det(u⃗, v⃗) ?
Question 3 — On trouve det(AB⃗, AC⃗) = 5. Que peut-on conclure ?
Beaucoup d'énoncés de géométrie ne donnent AUCUNE coordonnée : « Soit ABC un triangle… ». On travaille alors avec deux vecteurs de référence, par exemple AB⃗ et AC⃗, et on exprime tout le reste en fonction d'eux.
Deux vecteurs non colinéaires u⃗ et v⃗ forment une BASE du plan : tout vecteur w⃗ s'écrit alors, de façon unique, w⃗ = a u⃗ + b v⃗.
Pour démontrer un alignement, un parallélisme ou une égalité de vecteurs, on décompose les vecteurs concernés sur cette base, puis on compare les écritures obtenues.
Méthode — démontrer un parallélisme sans coordonnées.
1) Je choisis deux vecteurs de base, ici AB⃗ et AC⃗.
2) J'exprime les vecteurs utiles avec Chasles : si I est le milieu de [AB] et J celui de [AC], alors IJ⃗ = IA⃗ + AJ⃗ = −½ AB⃗ + ½ AC⃗.
3) Je compare : BC⃗ = BA⃗ + AC⃗ = −AB⃗ + AC⃗, donc IJ⃗ = ½ BC⃗. Les vecteurs sont colinéaires, donc (IJ) et (BC) sont parallèles.
Décomposer, c'est aussi savoir simplifier : 3 u⃗ + 2 v⃗ − u⃗ + v⃗ = 2 u⃗ + 3 v⃗.
On regroupe les termes en u⃗ entre eux et ceux en v⃗ entre eux, exactement comme on réduit une expression littérale.
Contre-exemple : on ne peut pas décomposer sur deux vecteurs COLINÉAIRES.
Avec u⃗ et 2u⃗, on ne peut fabriquer que des vecteurs de la même direction : ils ne forment pas une base du plan.
Deux vecteurs non colinéaires forment une base : tout vecteur s'y décompose de façon unique.
Démonstration type : exprimer deux vecteurs sur la base, montrer qu'ils sont colinéaires.
Question 1 — Deux vecteurs forment une base du plan lorsqu'ils sont :
Question 2 — Simplifie 3u⃗ + 2v⃗ − u⃗ + v⃗.
Question 3 — On trouve IJ⃗ = ½ BC⃗. Que peut-on en déduire ?
« ABCD est-il un parallélogramme ? », « le triangle est-il isocèle ? » : dans un repère, ces questions se règlent par le calcul. Encore faut-il choisir le bon outil — vecteurs ou distances.
Pour la NATURE d'un quadrilatère, on utilise les vecteurs (parallélogramme : AB⃗ = DC⃗) puis, si besoin, les distances (losange : côtés égaux) et l'égalité des diagonales.
Pour la NATURE d'un triangle, on compare les distances (isocèle, équilatéral) et on utilise la réciproque du théorème de Pythagore pour un angle droit.
Méthode — montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme.
1) Je calcule les coordonnées de AB⃗ et de DC⃗.
2) Je compare : si elles sont identiques, les vecteurs sont égaux.
3) Je conclus : ABCD est un parallélogramme. Autre méthode possible : les diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu.
Méthode — montrer qu'un triangle est rectangle.
1) Je calcule les trois longueurs, ou plutôt leurs CARRÉS.
2) Je repère la plus grande.
3) Je vérifie l'égalité de Pythagore : si le carré du plus grand côté est égal à la somme des deux autres carrés, le triangle est rectangle.
Contre-exemple : montrer que AB = DC ne suffit PAS pour un parallélogramme.
Deux côtés de même longueur peuvent former un trapèze croisé ou un quadrilatère quelconque. C'est l'égalité VECTORIELLE AB⃗ = DC⃗ qui conclut, car elle impose aussi la direction et le sens.
Parallélogramme : AB⃗ = DC⃗ (ou diagonales de même milieu). Losange : parallélogramme + deux côtés consécutifs égaux.
Triangle rectangle : réciproque de Pythagore sur les carrés des longueurs.
Question 1 — Comment démontrer que ABCD est un parallélogramme dans un repère ?
Question 2 — Pour prouver qu'un triangle est rectangle dans un repère, on utilise :
Question 3 — Une autre façon de prouver que ABCD est un parallélogramme :
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