Niveau 2ⁿᵈᵉ · Cours
🎯 À la fin de ce chapitre, je sais : utiliser le vocabulaire des événements et calculer une probabilité · lire et compléter un tableau croisé · calculer une fréquence conditionnelle · construire un arbre pondéré · interpréter une simulation.
Tu sais qu'une probabilité est un nombre entre 0 et 1, et que dans une situation d'équiprobabilité elle se calcule par « cas favorables sur cas possibles ». Ce chapitre organise ces connaissances avec le langage des ensembles.
En lançant un dé équilibré, la probabilité d'obtenir 4 est 1/6.
La somme des probabilités de toutes les issues vaut toujours 1.
Une probabilité est comprise entre 0 et 1.
Équiprobabilité : P(événement) = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles.
On tire une carte dans un jeu de 32. « Obtenir un cœur OU une figure », « obtenir un cœur ET une figure » : ces deux questions n'ont pas la même réponse. Le langage des ensembles permet de ne plus les confondre.
L'UNIVERS Ω est l'ensemble de toutes les ISSUES possibles d'une expérience aléatoire. Un ÉVÉNEMENT est une partie de l'univers ; Card(A) désigne le nombre d'issues de A.
A ∪ B (« A UNION B ») est l'événement « A ou B est réalisé » ; A ∩ B (« A INTER B ») est l'événement « A et B sont réalisés ». L'événement CONTRAIRE de A, noté Ā, est réalisé lorsque A ne l'est pas.
P(Ā) = 1 − P(A). Deux événements sont INCOMPATIBLES lorsque A ∩ B = ∅ ; dans ce cas P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Méthode — calculer la probabilité d'un événement.
1) Je décris l'univers et je vérifie l'équiprobabilité : un jeu de 32 cartes bien mélangé, donc 32 issues également probables.
2) Je compte les cas favorables : 8 cœurs, donc P(cœur) = 8/32 = 1/4.
3) Pour un contraire, je retranche à 1 : P(pas un cœur) = 1 − 1/4 = 3/4.
Contre-exemple : P(A ∪ B) n'est pas toujours P(A) + P(B).
Avec A = « obtenir un cœur » (8 cartes) et B = « obtenir un roi » (4 cartes), le roi de cœur est compté deux fois : Card(A ∪ B) = 8 + 4 − 1 = 11, donc P(A ∪ B) = 11/32.
Événements incompatibles : « obtenir un cœur » et « obtenir un pique » ne peuvent pas se produire ensemble.
Leur intersection est l'ensemble vide ∅, et les probabilités s'additionnent : 1/4 + 1/4 = 1/2.
P(Ā) = 1 − P(A) ; A ∩ B = ∅ ⟹ P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Équiprobabilité : P(A) = Card(A)/Card(Ω).
Question 1 — Si P(A) = 0,3, que vaut P(Ā) ?
Question 2 — Que signifie l'événement A ∩ B ?
Question 3 — Dans un jeu de 32 cartes, quelle est la probabilité de tirer un cœur ou un roi ?
Un sondage porte sur 200 lycéens : filles ou garçons, internes ou externes. Croiser les deux critères dans un tableau permet de répondre d'un coup d'œil à une foule de questions.
Un TABLEAU CROISÉ répartit une population selon DEUX critères. Les cases de la dernière ligne et de la dernière colonne s'appellent les effectifs MARGINAUX : ce sont les totaux.
Une FRÉQUENCE MARGINALE est un total divisé par l'effectif général. Une FRÉQUENCE CONDITIONNELLE est calculée à l'intérieur d'une seule ligne ou d'une seule colonne : on divise par le total de cette ligne ou de cette colonne.
| Internes | Externes | Total | |
|---|---|---|---|
| Filles | 36 | 84 | 120 |
| Garçons | 24 | 56 | 80 |
| Total | 60 | 140 | 200 |
Méthode — compléter un tableau croisé.
1) Je repère la case manquante et la ligne (ou la colonne) où elle se trouve.
2) Je soustrais au total les cases connues : 120 − 36 = 84.
3) Je vérifie la cohérence : la somme des totaux de lignes doit être égale à la somme des totaux de colonnes, ici 200.
Fréquence marginale : la proportion de filles vaut 120/200 = 0,6, soit 60 % des lycéens.
Fréquence conditionnelle : parmi les filles, la proportion d'internes vaut 36/120 = 0,3, soit 30 %.
Contre-exemple : 36/200 = 18 % n'est pas la proportion d'internes PARMI LES FILLES.
C'est la proportion de filles internes dans TOUT le lycée. Le mot « parmi » impose de diviser par le total de la ligne, ici 120.
Fréquence marginale : on divise par l'effectif TOTAL. Fréquence conditionnelle : on divise par le total de la ligne ou de la colonne.
« Parmi les filles… » ⟹ dénominateur = nombre de filles.
Question 1 — Dans le tableau du cours, quelle proportion de filles y a-t-il dans le lycée ?
Question 2 — Quelle proportion d'internes y a-t-il PARMI les filles ?
Question 3 — Que représente le nombre 60 dans la dernière ligne du tableau ?
Un test de dépistage est positif. Quelle est la probabilité d'être réellement malade ? Beaucoup répondent « la fiabilité du test », et se trompent lourdement : les deux questions sont différentes.
La PROBABILITÉ DE B SACHANT A, notée P_A(B), est la probabilité que B se réalise lorsqu'on sait déjà que A est réalisé.
Dans un tableau croisé, elle se lit directement : c'est l'effectif de A ∩ B divisé par l'effectif de A.
En général, P_A(B) ≠ P_B(A) : ces deux nombres ne portent pas sur la même population de référence.
Méthode — calculer une probabilité conditionnelle.
1) J'identifie la CONDITION : ce qui suit le mot « sachant » ou « parmi ».
2) Cette condition devient le dénominateur.
3) Avec le tableau du cours : P(interne sachant fille) = 36/120 = 0,3, alors que P(fille sachant interne) = 36/60 = 0,6.
Le piège des faux positifs. Dans une population de 1 000 personnes, 10 sont malades et le test détecte 9 d'entre elles ; sur les 990 personnes saines, 50 sont pourtant déclarées positives.
Il y a donc 59 tests positifs, dont seulement 9 vrais malades : P(malade sachant positif) = 9/59 ≈ 0,15, soit à peine 15 %.
Contre-exemple : la fiabilité du test, ici 9/10 = 90 %, est P(positif sachant malade).
Confondre ce nombre avec P(malade sachant positif) ≈ 15 % est l'erreur classique : inverser la condition change complètement le résultat.
P_A(B) = effectif de A ∩ B / effectif de A — la condition donne le dénominateur.
P_A(B) ≠ P_B(A) en général : inverser la condition est l'erreur la plus fréquente.
Question 1 — Avec le tableau du cours, que vaut P(fille sachant interne) ?
Question 2 — Dans l'exemple du test, 9 malades sont détectés sur 59 tests positifs. Que vaut P(malade sachant positif) ?
Question 3 — P_A(B) et P_B(A) sont :
Quand l'expérience se déroule en deux étapes — on tire une urne, puis une boule — le tableau devient malcommode. L'arbre, lui, suit le déroulement de l'expérience.
Dans un ARBRE PONDÉRÉ, chaque branche porte une probabilité. La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut toujours 1.
La probabilité d'un CHEMIN est le PRODUIT des probabilités des branches qui le composent.
La probabilité d'un événement est la SOMME des probabilités des chemins qui le réalisent.
Arbre pondéré à deux niveaux : P(A) = 0,6 puis P_A(B) = 0,3.
Méthode — calculer avec un arbre.
1) Je repère le chemin cherché : A puis B.
2) Je multiplie : P(A ∩ B) = 0,6 × 0,3 = 0,18.
3) Pour P(B), j'additionne tous les chemins menant à B : 0,6 × 0,3 + 0,4 × 0,5 = 0,18 + 0,20 = 0,38.
Vérification : les branches issues du premier nœud donnent 0,6 + 0,4 = 1 ✓.
Celles issues du nœud A donnent 0,3 + 0,7 = 1 ✓. Un arbre dont les branches ne somment pas à 1 contient une erreur.
Contre-exemple : P(B) n'est pas 0,3.
Le nombre 0,3 est P_A(B), la probabilité de B UNIQUEMENT dans la branche A. Pour obtenir P(B), il faut aussi compter le chemin passant par Ā.
Chemin → produit. Plusieurs chemins → somme. Chaque nœud → somme 1.
Les poids du second niveau sont des probabilités conditionnelles.
Question 1 — Sur l'arbre du cours, que vaut P(A ∩ B) ?
Question 2 — Que vaut P(B) sur ce même arbre ?
Question 3 — Que vaut la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud ?
Lancer un dé 10 000 fois à la main est impossible ; en Python, cela prend une seconde. La simulation permet de vérifier un modèle — ou de repérer qu'il est faux.
SIMULER une expérience aléatoire, c'est la reproduire un grand nombre de fois avec un générateur de nombres aléatoires, puis observer les FRÉQUENCES obtenues.
LOI DES GRANDS NOMBRES : lorsque le nombre de répétitions augmente, la fréquence observée d'un événement se rapproche de sa probabilité.
from random import randint
def simule(n):
succes = 0
for i in range(n):
de = randint(1, 6)
if de == 6:
succes = succes + 1
return succes / nMéthode — interpréter une simulation.
1) Je repère la probabilité théorique : ici 1/6 ≈ 0,167.
2) Je compare avec la fréquence obtenue : sur 100 lancers, on peut trouver 0,12 ou 0,21 ; sur 100 000, on trouvera environ 0,166.
3) Je conclus : l'écart diminue quand n augmente, conformément à la loi des grands nombres.
Contre-exemple : deux simulations de même taille ne donnent pas le même résultat.
C'est normal : le hasard fluctue. Ce qui se stabilise, c'est l'ORDRE DE GRANDEUR de la fréquence, pas sa valeur exacte.
Loi des grands nombres : plus n est grand, plus la fréquence observée s'approche de la probabilité.
La simulation valide ou invalide un modèle ; elle ne le démontre pas.
Question 1 — Que dit la loi des grands nombres ?
Question 2 — Que renvoie randint(1, 6) en Python ?
Question 3 — Une simulation de 100 lancers donne une fréquence de 0,21 pour le 6. Que conclure ?
Ton mémo complet est dans l’encadré « Mémo ». Prêt·e pour les défis ?