Niveau 2ⁿᵈᵉ · Cours
🎯 À la fin de ce chapitre, je sais : reconnaître les ensembles de nombres ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ et ℝ et utiliser les symboles ∈ et ⊂ · encadrer un réel par des décimaux · représenter un intervalle et calculer une réunion ou une intersection · utiliser la valeur absolue comme distance entre deux nombres.
Depuis la 6e, tu as rencontré de plus en plus de nombres : d'abord les entiers pour compter, puis les décimaux pour mesurer, les nombres négatifs pour les températures, les fractions pour partager. En 3e, la racine carrée a fait apparaître des nombres d'un genre nouveau, comme √2. Ce chapitre met de l'ordre dans toute cette famille.
Sur une droite graduée, chaque point correspond à un nombre appelé son abscisse.
Le point d'abscisse −2,5 est à gauche de 0, celui d'abscisse 3/4 est entre 0 et 1.
Un nombre décimal a une écriture décimale qui s'arrête : 5,2 ou −0,75.
Une fraction est un quotient de deux entiers : 3/4, −7/2.
Prends une calculatrice et tape 1 ÷ 3. Elle affiche 0,333333333… en s'arrêtant faute de place, mais l'écriture ne s'arrête jamais vraiment : 1/3 n'est donc pas un nombre décimal. Tape maintenant √2 : 1,414213562… Ce nombre-là n'est même pas une fraction ! Pour s'y retrouver, on range les nombres dans des ensembles emboîtés.
ℕ est l'ensemble des entiers naturels : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; … ℤ est l'ensemble des entiers relatifs : … ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; …
𝔻 est l'ensemble des nombres décimaux, ceux qui s'écrivent a/10ⁿ avec a entier relatif et n entier naturel.
ℚ est l'ensemble des nombres rationnels, ceux qui s'écrivent a/b avec a et b entiers (b non nul). ℝ est l'ensemble des nombres réels : ce sont les abscisses de tous les points d'une droite graduée.
Ces ensembles sont emboîtés : ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
5 ∈ ℕ et 5 ∈ ℤ · 5,2 = 52/10 donc 5,2 ∈ 𝔻 · −14 ∉ ℕ mais −14 ∈ ℤ · 2/5 = 4/10 donc 2/5 ∈ 𝔻.
Le symbole ∈ se lit « appartient à » et le symbole ⊂ se lit « est inclus dans ».
Contre-exemple : 1/3 ∉ 𝔻, alors que 1/3 ∈ ℚ.
En effet 1/3 = 0,3333… : son écriture décimale ne s'arrête pas, on ne peut donc pas l'écrire sous la forme a/10ⁿ. Il reste pourtant un quotient de deux entiers, donc un rationnel.
Un nombre réel qui n'est pas rationnel est appelé nombre IRRATIONNEL : il ne peut s'écrire sous forme de fraction.
Les nombres π et √2 sont irrationnels. Plus généralement, si n est un entier qui n'est pas un carré parfait, alors √n est irrationnel.
Méthode — montrer qu'un nombre est décimal.
1) J'écris le nombre sous forme de fraction.
2) Je transforme le dénominateur en puissance de 10 en multipliant en haut et en bas par le même nombre.
3) Exemple avec 7/2 : je multiplie par 5 en haut et en bas, 7/2 = 35/10, donc 7/2 est décimal.
ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ : chaque ensemble contient le précédent.
Décimal = écriture décimale finie. Rationnel = quotient de deux entiers. Irrationnel = réel qui n'est pas rationnel (π, √2).
Question 1 — À quel plus petit ensemble appartient le nombre −7 ?
Question 2 — Le nombre 2/5 est-il décimal ?
Question 3 — Quelle affirmation est FAUSSE ?
Un menuisier ne peut pas scier une planche de √2 mètres : il lui faut un nombre utilisable, avec la précision de son mètre ruban. Encadrer un réel, c'est le coincer entre deux décimaux aussi proches qu'on veut.
Encadrer un réel x à 10⁻ⁿ près, c'est donner deux décimaux a et b tels que a ⩽ x ⩽ b et b − a = 10⁻ⁿ. Le nombre b − a s'appelle l'AMPLITUDE de l'encadrement.
Un encadrement de π à 10⁻³ près est 3,141 ⩽ π ⩽ 3,142.
L'amplitude vaut ici 3,142 − 3,141 = 0,001 = 10⁻³.
Contre-exemple : « 3,1 ⩽ π ⩽ 3,2 » n'est PAS un encadrement à 10⁻² près.
Son amplitude vaut 0,1 = 10⁻¹ : c'est un encadrement au dixième, moins précis.
Méthode — encadrer √5 à 10⁻¹ près sans calculatrice.
1) J'encadre 5 par deux carrés parfaits : 4 < 5 < 9, donc 2 < √5 < 3.
2) J'affine en testant les carrés des dixièmes : 2,2² = 4,84 et 2,3² = 5,29.
3) Comme 4,84 < 5 < 5,29, j'obtiens 2,2 < √5 < 2,3 : l'amplitude vaut bien 0,1.
Encadrer à 10⁻ⁿ près = donner deux décimaux distants de 10⁻ⁿ qui entourent le nombre.
Pour une racine carrée, on encadre d'abord par deux carrés parfaits, puis on affine chiffre par chiffre.
Question 1 — Quel est l'encadrement de √37 entre deux entiers consécutifs ?
Question 2 — Quelle est l'amplitude de l'encadrement 1,73 ⩽ √3 ⩽ 1,74 ?
Question 3 — Quelle est la valeur approchée par défaut de 11/13 à 10⁻² près ?
Un panneau annonce « vitesse autorisée entre 50 et 90 km/h ». Cette phrase décrit un ensemble infini de vitesses possibles. Plutôt que d'écrire à chaque fois « les nombres x tels que 50 ⩽ x ⩽ 90 », on invente une écriture plus courte : l'intervalle [50 ; 90].
Pour deux réels a et b tels que a < b, on note : [a ; b] l'ensemble des réels x tels que a ⩽ x ⩽ b ; ]a ; b[ celui des réels tels que a < x < b ; et de même [a ; b[ et ]a ; b].
Quand l'intervalle n'est pas borné d'un côté, on utilise les symboles −∞ et +∞ : [a ; +∞[ est l'ensemble des réels x tels que x ⩾ a, et ]−∞ ; b] celui des réels tels que x ⩽ b.
Le crochet est TOURNÉ VERS L'INTÉRIEUR quand la borne est comprise.
3 ∈ [3 ; 7] mais 3 ∉ ]3 ; 7] · 7 ∈ ]3 ; 7] mais 7 ∉ [3 ; 7[.
Du côté de l'infini, le crochet est toujours ouvert : ]−∞ ; 5] et [2 ; +∞[, car l'infini n'est pas un nombre.
Contre-exemple : ]2 ; 5[ ne contient ni 2 ni 5.
Le nombre 2,000 1 en fait partie, mais 2 non : les deux crochets sont ouverts.
L'INTERSECTION de deux intervalles I et J, notée I ∩ J, est l'ensemble des réels appartenant à la fois à I ET à J.
La RÉUNION, notée I ∪ J, est l'ensemble des réels appartenant à I OU à J (au moins l'un des deux).
Méthode — calculer une intersection et une réunion.
1) Je trace les deux intervalles l'un au-dessus de l'autre sur une droite graduée.
2) L'intersection est la zone commune aux deux, la réunion la zone couverte par au moins l'un des deux.
3) Avec I = [−1 ; 4] et J = [2 ; 5] : I ∩ J = [2 ; 4] et I ∪ J = [−1 ; 5].
Crochet fermé [ = borne comprise ; crochet ouvert ] = borne exclue ; toujours ouvert du côté de l'infini.
I ∩ J = « à la fois dans les deux » ; I ∪ J = « dans au moins l'un des deux ».
Question 1 — Quel intervalle décrit les réels x tels que −1 ⩽ x < 4 ?
Question 2 — Que vaut [20 ; 25[ ∩ [14 ; 21[ ?
Question 3 — Comment s'écrit l'ensemble des réels x tels que x ⩽ −2 ou x > 1 ?
Une pièce doit mesurer 12,5 cm, à 0,3 cm près. Cela signifie que sa longueur doit rester à une DISTANCE d'au plus 0,3 cm de 12,5. Peu importe qu'elle soit un peu trop grande ou un peu trop petite : seul l'écart compte. C'est exactement ce que mesure la valeur absolue.
La valeur absolue d'un réel a, notée |a|, est la distance entre a et 0 sur la droite graduée. Elle est toujours positive ou nulle.
Si a est positif, |a| = a ; si a est négatif, |a| est son opposé.
|−4| = 4 et |3,8| = 3,8 : les nombres −4 et 4 sont tous deux à une distance 4 de zéro.
|0| = 0 : c'est le seul nombre dont la valeur absolue est nulle.
Contre-exemple : |−7| = −7 est FAUX.
Une valeur absolue est une distance : elle ne peut jamais être négative. La bonne réponse est |−7| = 7.
Pour deux réels a et b, la distance entre a et b vaut |a − b|, qui est aussi égale à |b − a|.
L'inéquation |x − a| ⩽ r signifie « la distance entre x et a est au plus r » : son ensemble de solutions est l'intervalle [a − r ; a + r], de CENTRE a et de RAYON r.
Méthode — traduire un intervalle avec une valeur absolue.
1) Je calcule le centre : c'est la demi-somme des bornes.
2) Je calcule le rayon : c'est la moitié de la longueur de l'intervalle.
3) Pour [2 ; 6] : centre (2 + 6) ÷ 2 = 4 et rayon (6 − 2) ÷ 2 = 2, donc x ∈ [2 ; 6] équivaut à |x − 4| ⩽ 2.
|a| = distance entre a et 0 ; |a − b| = distance entre a et b ; une valeur absolue est toujours positive ou nulle.
|x − a| ⩽ r ⇔ x ∈ [a − r ; a + r] : intervalle de centre a et de rayon r.
Question 1 — Que vaut |5 − 8| ?
Question 2 — Que représente |x − 100| ?
Question 3 — Quel est l'ensemble des réels x tels que |x − 10| ⩽ 1 ?
Ton mémo complet est dans l’encadré « Mémo ». Prêt·e pour les défis ?