Niveau 2ⁿᵈᵉ · Cours
🎯 À la fin de ce chapitre, je sais : résoudre des problèmes avec les multiples et les diviseurs · rendre une fraction irréductible · démontrer une propriété en utilisant des lettres · écrire en Python un algorithme sur les multiples.
Au collège, tu as appris à reconnaître si un nombre est divisible par 2, 3, 5 ou 9, et à poser une division euclidienne. En seconde, on change de point de vue : au lieu de VÉRIFIER sur des exemples, on va DÉMONTRER des propriétés vraies pour tous les nombres, en remplaçant les nombres par des lettres.
Division euclidienne : 47 = 5 × 9 + 2, où 2 est le reste.
Le reste est nul exactement quand la division « tombe juste » : 45 = 5 × 9 + 0, donc 45 est un multiple de 5.
Un nombre est pair s'il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8.
Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres l'est.
Deux voitures tournent sur un circuit : l'une met 30 minutes par tour, l'autre 36 minutes. Elles partent ensemble à midi. Quand se retrouveront-elles sur la ligne de départ ? Pour répondre, il faut chercher un instant qui soit à la fois un multiple de 30 et un multiple de 36. Encore faut-il définir précisément ce mot.
Soient a et b deux entiers. On dit que a est un MULTIPLE de b s'il existe un entier k tel que a = kb. On dit alors aussi que b est un DIVISEUR de a, ou que a est divisible par b.
Un entier n est PAIR s'il existe un entier k tel que n = 2k, et IMPAIR s'il existe un entier k tel que n = 2k + 1.
44 est un multiple de 4, car 44 = 4 × 11 : ici k = 11.
Les diviseurs de 36 sont 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 et 36 : on les cherche par paires (1 et 36, 2 et 18, 3 et 12, 4 et 9, puis 6 avec lui-même).
17 est impair car 17 = 2 × 8 + 1.
Contre-exemple : 50 n'est pas un multiple de 4.
En effet 50 ÷ 4 = 12,5 : il n'existe aucun ENTIER k tel que 50 = 4k. La division euclidienne donne 50 = 4 × 12 + 2, avec un reste non nul.
Méthode — trouver le plus grand multiple de a inférieur à b.
1) J'effectue la division de b par a.
2) Je garde la partie entière du quotient.
3) Je multiplie cette partie entière par a. Exemple : le plus grand multiple de 3 inférieur à 5 681 s'obtient par 5 681 ÷ 3 = 1 893,66…, donc 3 × 1 893 = 5 679.
a est un multiple de b s'il existe un entier k tel que a = kb.
Pair : n = 2k. Impair : n = 2k + 1. Ces écritures servent à démontrer.
Question 1 — Le nombre 225 est-il un multiple de 25 ?
Question 2 — Quel est le plus petit multiple de 12 supérieur ou égal à 2 189 ?
Question 3 — Combien 36 admet-il de diviseurs positifs ?
Les fractions 48/56, 24/28, 12/14 et 6/7 désignent le même nombre. La dernière est la plus simple : on ne peut plus la réduire. C'est celle qu'on donne comme résultat.
Une fraction est IRRÉDUCTIBLE lorsque son numérateur et son dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que 1.
48/56 n'est pas irréductible : 8 divise 48 et 56.
En divisant en haut et en bas par 8 : 48/56 = 6/7. Les nombres 6 et 7 n'ont plus de diviseur commun autre que 1 : la fraction est irréductible.
Contre-exemple : 15/28 est déjà irréductible.
Les diviseurs de 15 sont 1, 3, 5, 15 ; ceux de 28 sont 1, 2, 4, 7, 14, 28 : le seul diviseur commun est 1, il n'y a rien à simplifier.
Méthode — simplifier une fraction.
1) Je cherche un diviseur commun au numérateur et au dénominateur (2, 3, 5, 7…).
2) Je divise les deux par ce nombre.
3) Je recommence tant que c'est possible. Pour 650/900 : je divise par 10 (65/90), puis par 5 (13/18) : c'est terminé.
Irréductible = plus aucun diviseur commun autre que 1 entre le numérateur et le dénominateur.
On simplifie en divisant EN HAUT ET EN BAS par un même nombre, jamais en barrant des termes d'une somme.
Question 1 — Quelle est la forme irréductible de 56/63 ?
Question 2 — Parmi ces fractions, laquelle est irréductible ?
Question 3 — Que vaut 4/3 − 2/3 × 5/2 ?
« La somme de deux nombres impairs est toujours paire. » Tu peux essayer : 3 + 5 = 8, 7 + 11 = 18, 21 + 45 = 66… Mais des exemples ne prouvent rien : il en resterait une infinité à tester. Pour être sûr, il faut raisonner sur des lettres.
DÉMONTRER une propriété, c'est établir qu'elle est vraie dans tous les cas, en partant des définitions et de propriétés déjà connues.
Pour montrer qu'une propriété du type « tous les… » est FAUSSE, il suffit d'un seul CONTRE-EXEMPLE.
Méthode — démontrer que la somme de deux multiples de 5 est un multiple de 5.
1) Je traduis l'hypothèse : les deux nombres s'écrivent 5k et 5k' avec k et k' entiers.
2) Je calcule la somme : 5k + 5k' = 5(k + k').
3) Je conclus : comme k + k' est un entier, la somme s'écrit 5 × (un entier), c'est donc un multiple de 5.
Contre-exemple : « tous les multiples de 6 sont des multiples de 12 » est faux.
Le nombre 6 est un multiple de 6, mais 6 n'est pas un multiple de 12. Un seul cas suffit à démolir l'affirmation.
Trois raisonnements utiles. La DISJONCTION DES CAS : on découpe en situations (par exemple les deux nombres pairs, les deux impairs, un de chaque) et on traite chacune.
La CONTRAPOSÉE : au lieu de démontrer « si A alors B », on démontre « si B est fausse, alors A est fausse ».
Le raisonnement PAR L'ABSURDE : on suppose le contraire de ce qu'on veut prouver et on aboutit à une contradiction.
Le carré d'un nombre impair est impair.
Soit n impair : n = 2k + 1. Alors n² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1.
Comme 2k² + 2k est un entier, n² est de la forme 2 × (un entier) + 1 : n² est impair.
On traduit l'hypothèse avec des lettres, on calcule, puis on factorise pour faire apparaître la forme voulue.
Contre-exemple pour réfuter ; disjonction des cas, contraposée ou absurde pour démontrer.
Question 1 — Comment s'écrit un entier impair avec une lettre ?
Question 2 — Pour réfuter « tous les nombres pairs sont divisibles par 4 », que suffit-il de faire ?
Question 3 — Dans la démonstration « n = 2k donc n² = 4k² = 2 × (2k²) », que conclut-on ?
Tester si 3 249 est un multiple de 17 à la main prend du temps. Un ordinateur le fait instantanément, à condition de lui décrire précisément la marche à suivre. En seconde, on écrit ces algorithmes en langage Python.
En Python, l'opérateur % (modulo) donne le RESTE de la division euclidienne, et l'opérateur // donne le QUOTIENT entier.
Ainsi, a est un multiple de b exactement lorsque a % b vaut 0.
17 % 5 vaut 2, car 17 = 5 × 3 + 2. Et 17 // 5 vaut 3.
51 % 17 vaut 0 : le reste est nul, donc 51 est un multiple de 17.
Contre-exemple : ne pas confondre % et /.
L'opération 17 / 5 donne 3.4 (un nombre décimal), alors que 17 % 5 donne 2 (le reste) et 17 // 5 donne 3 (le quotient entier).
Méthode — écrire une fonction qui teste la divisibilité.
1) J'écris l'en-tête avec le mot-clé def et les arguments : def est_multiple(a, b):
2) J'écris la condition à tester : if a % b == 0:
3) Je renvoie le résultat avec return True, sinon return False. L'appel est_multiple(51, 17) renvoie alors True.
a % b = reste de la division euclidienne ; a est multiple de b si a % b == 0.
Une fonction Python se définit avec def, prend des arguments et renvoie une valeur avec return.
Question 1 — Que vaut 47 % 5 en Python ?
Question 2 — Quelle condition teste « n est un multiple de 7 » ?
Question 3 — Combien de tours effectue la boucle « for d in range(1, 11) » ?
Ton mémo complet est dans l’encadré « Mémo ». Prêt·e pour les défis ?