Niveau 2ⁿᵈᵉ · Cours
🎯 À la fin de ce chapitre, je sais : déterminer le signe d'une fonction affine · dresser un tableau de signes d'un produit ou d'un quotient · résoudre une inéquation produit ou quotient · factoriser une expression pour étudier son signe.
Tu sais résoudre une inéquation du premier degré et tu connais la règle des signes d'un produit. Tu sais aussi factoriser avec un facteur commun ou une identité remarquable. Ce chapitre combine ces trois savoir-faire dans un seul outil : le tableau de signes.
Règle des signes : un produit de deux facteurs de MÊME signe est positif ; de signes contraires, il est négatif.
Un quotient suit exactement la même règle, à condition que le dénominateur ne soit pas nul.
Étudier le signe d'une expression, c'est dire pour quelles valeurs de x elle est positive, négative ou nulle.
La règle des signes vaut aussi bien pour un produit que pour un quotient.
Un commerçant vend x articles ; son bénéfice vaut 5x − 200 euros. Tant qu'il vend peu, il perd de l'argent ; à partir d'un certain nombre, il en gagne. Ce basculement, c'est le changement de signe d'une fonction affine.
Soit f(x) = mx + p avec m ≠ 0. La fonction f s'annule en une seule valeur, appelée sa RACINE : x₀ = −p/m.
Si m > 0, f est négative avant x₀ et positive après ; si m < 0, f est positive avant x₀ et négative après. On résume cela par la formule « signe de m après la racine ».
Méthode — dresser le tableau de signes de f(x) = 5x − 200.
1) Je résous 5x − 200 = 0 : la racine est x₀ = 40.
2) Je regarde le coefficient m = 5, qui est positif.
3) Je conclus : f est négative sur ]−∞ ; 40[, nulle en 40, positive sur ]40 ; +∞[. Le commerçant devient bénéficiaire à partir de 41 articles.
| x | ]−∞ ; 40[ | 40 | ]40 ; +∞[ |
|---|---|---|---|
| 5x − 200 | − | 0 | + |
Contre-exemple : pour g(x) = −3x + 12, la racine est 4, mais g n'est PAS négative avant 4.
Le coefficient m = −3 est négatif : g est positive sur ]−∞ ; 4[ et négative sur ]4 ; +∞[. Le signe suit toujours celui de m APRÈS la racine.
mx + p s'annule en −p/m et prend le signe de m APRÈS cette racine.
Sur la droite représentative : la fonction est positive là où la droite est au-dessus de l'axe des abscisses.
Question 1 — Quelle est la racine de la fonction f(x) = 3x + 12 ?
Question 2 — Sur quel intervalle f(x) = 5x − 200 est-elle positive ?
Question 3 — Pour g(x) = −3x + 12, quel est le signe de g sur ]−∞ ; 4[ ?
Le signe de (2x − 6)(x + 1) change plusieurs fois. Tester des valeurs au hasard ne prouve rien : le tableau de signes examine d'un coup TOUTES les valeurs de x, en découpant ℝ en zones.
Un TABLEAU DE SIGNES découpe ℝ selon les racines des différents facteurs, rangées dans l'ordre croissant.
On donne le signe de chaque facteur sur chaque zone, puis on obtient le signe du produit en appliquant la règle des signes colonne par colonne.
Méthode — dresser le tableau de signes de (2x − 6)(x + 1).
1) Je cherche les racines de chaque facteur : 2x − 6 = 0 donne x = 3 ; x + 1 = 0 donne x = −1.
2) Je range ces racines dans l'ordre croissant : −1 puis 3.
3) Je remplis une ligne par facteur, puis la ligne du produit avec la règle des signes.
| x | ]−∞ ; −1[ | −1 | ]−1 ; 3[ | 3 | ]3 ; +∞[ |
|---|---|---|---|---|---|
| 2x − 6 | − | − | − | 0 | + |
| x + 1 | − | 0 | + | + | + |
| produit | + | 0 | − | 0 | + |
Lecture du tableau : le produit est positif sur ]−∞ ; −1[ et sur ]3 ; +∞[, négatif sur ]−1 ; 3[, nul en −1 et en 3.
L'ensemble des solutions de (2x − 6)(x + 1) ⩽ 0 est donc [−1 ; 3], bornes COMPRISES car l'inégalité est large.
Contre-exemple : (2x − 6)(x + 1) < 0 ne se résout pas en écrivant 2x − 6 < 0 et x + 1 < 0.
Ce serait la condition pour que les DEUX facteurs soient négatifs, donc pour que le produit soit POSITIF. Un produit négatif demande deux facteurs de signes contraires : seul le tableau permet de conclure sans se tromper.
Une ligne par facteur, une colonne par zone, puis la règle des signes en bas.
Solutions de « produit < 0 » : les zones marquées − dans la dernière ligne.
Question 1 — Quelles racines faut-il placer dans le tableau de signes de (2x − 6)(x + 1) ?
Question 2 — Sur ]−1 ; 3[, quel est le signe du produit (2x − 6)(x + 1) ?
Question 3 — Quel est l'ensemble des solutions de (2x − 6)(x + 1) ⩽ 0 ?
Le quotient (x − 2)/(x + 3) suit la même règle des signes qu'un produit… à un détail près, mais capital : le dénominateur ne doit jamais s'annuler.
La VALEUR INTERDITE d'un quotient est la valeur de x qui annule le dénominateur : l'expression n'y est pas définie.
Dans le tableau, on la marque par une double barre, et elle est TOUJOURS exclue de l'ensemble des solutions, même si l'inégalité est large.
Méthode — résoudre (x − 2)/(x + 3) ⩾ 0.
1) Je cherche la valeur interdite : x + 3 = 0 donne x = −3, donc x ≠ −3.
2) Je cherche la racine du numérateur : x − 2 = 0 donne x = 2.
3) Je dresse le tableau et je lis les zones positives, en excluant −3.
| x | ]−∞ ; −3[ | −3 | ]−3 ; 2[ | 2 | ]2 ; +∞[ |
|---|---|---|---|---|---|
| x − 2 | − | − | − | 0 | + |
| x + 3 | − | 0 | + | + | + |
| quotient | + | ‖ | − | 0 | + |
Lecture : le quotient est positif sur ]−∞ ; −3[ et sur ]2 ; +∞[, nul en 2.
L'ensemble des solutions de (x − 2)/(x + 3) ⩾ 0 est donc ]−∞ ; −3[ ∪ [2 ; +∞[ : crochet OUVERT en −3 (valeur interdite), FERMÉ en 2 (le quotient y est nul).
Contre-exemple : on ne résout pas une inéquation quotient en « multipliant par le dénominateur ».
Multiplier par x + 3 change le sens de l'inégalité quand x + 3 est négatif : comme on ignore son signe, la manipulation est interdite. Le tableau, lui, traite les deux cas à la fois.
Quotient : même règle des signes qu'un produit, plus une double barre à la valeur interdite.
Numérateur nul → valeur incluse (avec ⩽ ou ⩾). Dénominateur nul → valeur exclue, toujours.
Question 1 — Quelle est la valeur interdite de l'expression (x − 2)/(x + 3) ?
Question 2 — Quel est l'ensemble des solutions de (x − 2)/(x + 3) ⩾ 0 ?
Question 3 — Pour résoudre (x + 1)/(x − 4) < 3, quelle est la première étape ?
Une expression développée comme x² − 9 ne livre pas son signe. Factorisée en (x − 3)(x + 3), elle devient un simple produit de deux fonctions affines : le tableau de signes redevient possible.
Pour étudier le signe d'une expression, on la FACTORISE d'abord en produit ou en quotient de fonctions affines.
Les outils sont ceux du chapitre sur le calcul littéral : facteur commun, et identité a² − b² = (a − b)(a + b).
Méthode — comparer deux courbes.
1) Pour savoir quand Cf est au-dessus de Cg, j'étudie le signe de la différence f(x) − g(x).
2) Je factorise cette différence.
3) Je dresse le tableau : là où la différence est positive, Cf est au-dessus de Cg.
Avec f(x) = x² et g(x) = 9 : f(x) − g(x) = x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
Ce produit est positif sur ]−∞ ; −3[ ∪ ]3 ; +∞[ : la parabole est au-dessus de la droite horizontale y = 9 en dehors de [−3 ; 3].
Contre-exemple : x² + 4 ne se factorise pas… et c'est une bonne nouvelle.
Un carré est positif ou nul, donc x² + 4 ⩾ 4 > 0 pour tout x : l'expression est strictement positive sur ℝ, aucun tableau n'est nécessaire.
Comparer f et g ⟺ étudier le signe de f(x) − g(x).
a² − b² = (a − b)(a + b) : l'identité qui transforme une différence de carrés en produit étudiable.
Question 1 — Comment factoriser x² − 9 ?
Question 2 — Pour savoir quand Cf est au-dessus de Cg, on étudie :
Question 3 — Quel est le signe de x² + 4 sur ℝ ?
Ton mémo complet est dans l’encadré « Mémo ». Prêt·e pour les défis ?