Niveau 3ᵉ · Cours
🎯 À la fin de ce chapitre, je sais : résoudre rapidement une équation du premier degré · résoudre une équation produit avec la règle du produit nul · résoudre une équation du type x² = a (0, 1 ou 2 solutions) · mettre un problème en équation et le résoudre.
Depuis la 4e, tu résous des équations avec la méthode de la balance : une équation est comme une balance en équilibre, et tout ce que tu fais à un plateau (ajouter, retirer, multiplier, diviser), tu dois le faire à l'autre.
Résoudre x + 9 = 5 : je retire 9 des deux côtés → x = −4.
Résoudre −3x = 12 : je divise les deux membres par −3 → x = −4.
Résoudre 7x = 5 : je divise par 7 → x = 5/7 (une solution peut être une fraction !).
Résoudre une équation, c'est trouver TOUTES les valeurs de l'inconnue qui rendent l'égalité vraie.
Ce que je fais à un membre, je le fais aussi à l'autre.
En 3e, on attend de toi que tu résolves RAPIDEMENT des équations plus riches : avec l'inconnue des deux côtés, des parenthèses, des nombres décimaux… La stratégie reste toujours la même.
Méthode pour résoudre 5(7 − 2,2x) = 9 − 6x :
1) Je développe : 35 − 11x = 9 − 6x.
2) Je regroupe les x d'un côté, les nombres de l'autre : 35 − 9 = 11x − 6x, donc 26 = 5x.
3) J'isole x : x = 26 ÷ 5 = 5,2.
4) Je vérifie : 5 × (7 − 2,2 × 5,2) = 5 × (−4,44) = −22,2 et 9 − 6 × 5,2 = −22,2. Égalité vraie ✓
Développer → regrouper les x d'un côté → isoler x → vérifier.
Une solution n'est pas toujours un entier : 5/7 ou 5,2 sont des solutions parfaitement acceptables.
Question 1 — Quelle est la solution de l'équation 4x − 8 = 7x + 4 ?
Question 2 — Pour résoudre 5(7 − 2,2x) = 9 − 6x, quelle est la première étape la plus efficace ?
Question 3 — Quelle est la solution de l'équation 5(7 − 2,2x) = 9 − 6x ?
Je multiplie deux nombres et je trouve 0. Que peux-tu dire de ces deux nombres ? Réfléchis… Pour qu'un produit s'écroule à zéro, il faut forcément qu'au moins un des deux facteurs soit 0 : c'est la seule façon d'obtenir 0 en multipliant.
Règle du produit nul : un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.
Autrement dit : A × B = 0 équivaut à A = 0 ou B = 0.
Méthode pour résoudre l'équation produit (x + 3)(x − 7) = 0 :
1) Si un produit est nul, alors l'un de ses facteurs au moins est nul : x + 3 = 0 ou x − 7 = 0.
2) Je résous chaque petite équation : x = −3 ou x = 7.
3) Je teste : pour x = −3, (−3 + 3)(−3 − 7) = 0 × (−10) = 0 ✓ ; pour x = 7, (7 + 3)(7 − 7) = 10 × 0 = 0 ✓.
Les solutions de l'équation sont −3 et 7.
Contre-exemple — un produit égal à 12 :
Si A × B = 12, je ne peux RIEN dire directement de A et B : 12 = 3 × 4 = 2 × 6 = 24 × 0,5 = (−4) × (−3)… une infinité de possibilités !
La règle « produit → facteurs » ne fonctionne QUE pour 0.
A × B = 0 ⟺ A = 0 ou B = 0 : j'annule chaque facteur, un par un.
Cette règle ne marche que pour 0 — jamais pour 12, 1 ou un autre nombre.
Question 1 — Le produit de deux nombres vaut 0. Que peut-on affirmer ?
Question 2 — Quelles sont les solutions de l'équation (x + 1)(x − 8) = 0 ?
Question 3 — Le produit de deux nombres vaut 12. Que peut-on dire de ces nombres ?
Quel(s) nombre(s) ont pour carré 25 ? Tout le monde pense à 5… mais (−5)² = 25 aussi ! Et quel nombre a pour carré −9 ? Aucun : un carré n'est jamais négatif. Selon le signe de a, l'équation x² = a n'a donc pas toujours le même nombre de solutions.
Pour tout nombre relatif a :
• si a > 0, l'équation x² = a admet DEUX solutions : √a et −√a ;
• si a = 0, l'équation x² = 0 admet UNE seule solution : 0 ;
• si a < 0, l'équation x² = a n'admet AUCUNE solution.
Résoudre x² = 36 : 36 > 0, deux solutions, √36 = 6 et −6.
Résoudre x² = 20 : 20 > 0, deux solutions, √20 et −√20 (soit 2√5 et −2√5, valeurs exactes vues au chapitre Racines carrées ; ≈ 4,47 et −4,47).
Résoudre x² = −9 : −9 < 0, aucune solution — aucun nombre n'a un carré négatif.
x² = a : deux solutions si a > 0 (√a et −√a), une seule si a = 0, aucune si a < 0.
Je regarde le SIGNE de a avant de me lancer dans les calculs.
Question 1 — Combien de solutions possède l'équation x² = 25 ?
Question 2 — Combien de solutions possède l'équation x² = −9 ?
Question 3 — Quelles sont les solutions EXACTES de l'équation x² = 20 ?
« Marc a 11 ans, Pierre a 26 ans. Dans combien d'années Pierre aura-t-il le double de l'âge de Marc ? » Ici, personne ne te donne l'équation : c'est à toi de la fabriquer. Il existe une méthode en cinq étapes qui marche à tous les coups.
Méthode en 5 étapes (problème de Marc et Pierre) :
1) CHOISIR l'inconnue : x = le nombre d'années cherché.
2) TRADUIRE l'énoncé : dans x années, Marc aura (11 + x) ans et Pierre (26 + x) ans ; « Pierre aura le double » s'écrit 26 + x = 2(11 + x).
3) RÉSOUDRE : 26 + x = 22 + 2x, donc x = 4.
4) VÉRIFIER : dans 4 ans, Marc aura 15 ans et Pierre 30 ans ; 30 = 2 × 15 ✓.
5) CONCLURE avec une phrase : c'est dans 4 ans.
Quand le problème mène à x² = … (plaque 20 cm × 13 cm) :
On découpe 4 carrés de côté x aux coins ; il reste 208,16 cm². L'équation est 260 − 4x² = 208,16.
Elle équivaut à 4x² = 51,84, soit x² = 12,96 : les solutions sont 3,6 et −3,6.
Un côté de carré est positif : seule x = 3,6 cm convient.
Choisir l'inconnue → traduire → résoudre → vérifier → conclure.
Je garde uniquement les solutions qui ont un sens dans le problème (longueur > 0, nombre entier d'années…).
Question 1 — Marc a 11 ans et Pierre 26 ans. On note x le nombre d'années au bout duquel Pierre aura le double de l'âge de Marc. Quelle équation traduit le problème ?
Question 2 — Après avoir résolu l'équation d'un problème, que reste-t-il à faire ?
Question 3 — Un problème de longueur mène à x² = 12,96, dont les solutions sont 3,6 et −3,6. Quelle est la réponse au problème ?
Ton mémo complet est dans l’encadré « Mémo ». Prêt·e pour les défis ?