Niveau 3ᵉ · Cours
🎯 À la fin de ce chapitre, je sais : calculer l'aire d'une sphère et le volume d'une boule · calculer le volume de solides assemblés · déterminer la nature d'une section plane d'un solide · me repérer sur une sphère grâce à la latitude et à la longitude · utiliser l'effet d'un agrandissement ou d'une réduction sur les longueurs, les aires et les volumes.
Depuis la 5e, tu sais calculer le volume d'un pavé droit et d'un cylindre ; depuis la 4e, celui d'une pyramide et d'un cône. Ces formules vont resservir tout le chapitre, notamment pour les solides assemblés (silo, cornet de glace…).
Formules de volume à mobiliser :
• pavé droit : V = L × l × h ; cube : V = c³ ;
• cylindre : V = π × r² × h ;
• pyramide et cône : V = aire de la base × h ÷ 3.
Un cylindre de rayon 3 cm et de hauteur 7 cm :
V = π × 3² × 7 = 63π cm³ (valeur exacte),
V ≈ 197,9 cm³ (valeur approchée au dixième).
Un volume se mesure en unités cubes (cm³, m³…) ; 1 L = 1 dm³.
Le théorème de Pythagore (4e) va resservir : il donnera le rayon d'une section de sphère.
Un ballon de baudruche : tout est dans l'enveloppe, l'intérieur n'est que de l'air — c'est une sphère. Une bille de verre : elle est pleine — c'est une boule. La Terre elle-même est une boule, et sa surface (là où nous marchons) est une sphère.
La sphère de centre O et de rayon r est l'ensemble des points situés EXACTEMENT à la distance r de O : c'est une surface.
La boule de centre O et de rayon r est l'ensemble des points situés à une distance inférieure ou égale à r : c'est un solide plein.
Aire de la sphère : A = 4 × π × r². Volume de la boule : V = 4/3 × π × r³.
Méthode pour une sphère et une boule de rayon 5 cm :
1) Aire : A = 4 × π × 5² = 100π cm² (valeur exacte), A ≈ 314,2 cm² (valeur approchée).
2) Volume : V = 4/3 × π × 5³ = 500/3 π cm³ (valeur exacte), V ≈ 523,6 cm³.
« Valeur exacte » = on garde π dans l'écriture ; « valeur approchée » = on arrondit.
Solides assemblés — un cornet de glace : cône de hauteur 10 cm et de rayon 3 cm, surmonté d'une demi-boule de rayon 3 cm.
1) V(cône) = π × 3² × 10 ÷ 3 = 30π cm³.
2) V(demi-boule) = 4/3 × π × 3³ ÷ 2 = 18π cm³.
3) V(total) = 30π + 18π = 48π ≈ 150,8 cm³ : on ADDITIONNE les volumes exacts, on n'arrondit qu'à la fin.
A(sphère) = 4 × π × r² : une AIRE, en unités carrées.
V(boule) = 4/3 × π × r³ : un VOLUME, en unités cubes.
Solides assemblés : j'additionne (ou je soustrais) les volumes exacts, et j'arrondis à la toute fin.
Question 1 — Quelle est l'aire exacte d'une sphère de rayon 3 cm ?
Question 2 — Quel est le volume exact d'une boule de rayon 5 cm ?
Question 3 — Le solide PLEIN s'appelle…
Coupe une plaquette de beurre bien droit : la trace du couteau est un rectangle. Coupe un saucisson perpendiculairement : un disque. Coupe une orange : un cercle apparaît. Cette surface plane qui apparaît quand on coupe un solide s'appelle la section.
La section d'un solide par un plan est la surface plane obtenue en coupant le solide par ce plan. On la dessine en vraie grandeur à côté de la perspective cavalière du solide.
Nature de la section, solide par solide :
• pavé droit ou cube coupé parallèlement à une face → un rectangle (ou carré) identique à cette face ;
• pavé droit coupé parallèlement à une arête → un rectangle ;
• cylindre coupé perpendiculairement à son axe → un disque de même rayon que la base ; parallèlement à son axe → un rectangle ;
• pyramide ou cône coupé parallèlement à sa base → une RÉDUCTION de la base ;
• sphère coupée par un plan → un cercle.
Méthode : rayon de la section d'une sphère de rayon 5 cm par un plan situé à 3 cm du centre.
1) La section est un cercle, de rayon r à déterminer.
2) Le rayon de la sphère (5 cm), la distance du centre au plan (3 cm) et r forment un triangle rectangle.
3) Pythagore : r² = 5² − 3² = 25 − 9 = 16, donc r = 4 cm.
Parallèle à une face → copie de la face ; parallèle à la base d'un cône ou d'une pyramide → réduction de la base ; sphère → cercle.
Rayon d'une section de sphère : Pythagore avec le rayon de la sphère et la distance du centre au plan.
Question 1 — On coupe un cube par un plan parallèle à une face. La section est…
Question 2 — Quand la section d'une sphère est-elle un grand cercle ?
Question 3 — Une sphère de rayon 10 cm est coupée par un plan à 8 cm du centre. Le rayon de la section vaut…
Comment donner un rendez-vous au milieu de l'océan, sans aucune rue ni panneau ? Avec deux angles : c'est exactement ce que fait ton GPS. Sur la sphère terrestre, deux nombres suffisent pour repérer n'importe quel point.
Les méridiens sont des demi-cercles qui relient les deux pôles ; le méridien de Greenwich sert d'origine. Les parallèles sont des cercles parallèles à l'équateur.
La latitude (de 0° à 90°, Nord ou Sud) donne la position par rapport à l'équateur ; la longitude (de 0° à 180°, Est ou Ouest) donne la position par rapport au méridien de Greenwich.
Un point de la sphère est repéré par le couple (latitude ; longitude).
Méthode de lecture : Paris (49° N ; 2° E).
1) Latitude 49° N : depuis l'équateur, je monte de 49° vers le pôle Nord → je trouve le parallèle de Paris.
2) Longitude 2° E : depuis le méridien de Greenwich, je tourne de 2° vers l'est → je trouve le méridien de Paris.
3) Le point est au croisement du parallèle et du méridien. Autre exemple : Sydney (34° S ; 151° E) est dans l'hémisphère SUD, loin à l'est.
(latitude ; longitude) : latitude N/S lue sur les parallèles, longitude E/O lue sur les méridiens.
Grands cercles de la sphère terrestre : l'équateur et les méridiens.
Question 1 — Sydney a pour coordonnées (34° S ; 151° E). Où se trouve la ville ?
Question 2 — La latitude d'un point indique sa position par rapport…
Question 3 — Lequel de ces cercles est un grand cercle de la Terre ?
Une maquette d'immeuble à l'échelle 1/300 : chaque longueur est 300 fois plus petite. Mais la surface au sol, elle, est 90 000 fois plus petite, et le volume… 27 millions de fois plus petit ! Longueurs, aires et volumes ne rétrécissent pas à la même vitesse.
Lors d'un agrandissement ou d'une réduction de rapport k : les longueurs sont multipliées par k, les aires par k², les volumes par k³.
Si k > 1, c'est un agrandissement ; si k < 1, c'est une réduction.
Méthode : un immeuble de 24 m de long, 12 m de large et 15 m de haut, en maquette au 1/300.
1) Longueurs ÷ 300 : la maquette mesure 8 cm × 4 cm × 5 cm.
2) Aires ÷ 300² = 90 000 : la surface au sol passe de 288 m² à 32 cm².
3) Volumes ÷ 300³ = 27 000 000 : le volume passe de 4 320 m³ à 160 cm³.
Lien avec les sections : un cône coupé parallèlement à sa base aux 8/10 de sa hauteur donne un petit cône.
C'est une réduction de rapport k = 0,8 : les rayons sont multipliés par 0,8, et le volume par 0,8³ = 0,512.
Longueurs × k ; aires × k² ; volumes × k³.
Dans l'autre sens : si les volumes sont multipliés par k³, je retrouve k avec la racine cubique (et k² pour les aires).
Question 1 — On double toutes les longueurs d'un solide. Son volume est multiplié par…
Question 2 — Dans un agrandissement de rapport k = 3, les aires sont multipliées par…
Question 3 — Une maquette est à l'échelle 1/100. Le volume réel est plus grand que celui de la maquette…
Ton mémo complet est dans l’encadré « Mémo ». Prêt·e pour les défis ?