Niveau 3ᵉ · Cours
🎯 À la fin de ce chapitre, je sais : reconnaître une fonction linéaire ou affine et calculer une image · tracer sa droite et interpréter ses coefficients · retrouver l'expression d'une fonction · modéliser une proportionnalité par une fonction linéaire · passer d'un pourcentage d'évolution à un coefficient multiplicateur.
Depuis la 4e, tu sais reconnaître une situation de proportionnalité : on passe d'une grandeur à l'autre en multipliant toujours par le MÊME nombre, appelé coefficient de proportionnalité.
Des croissants à 1,20 € pièce :
2 croissants → 2,40 € ; 5 croissants → 6 € ; 10 croissants → 12 €.
À chaque fois, on multiplie le nombre de croissants par 1,20 : c'est le coefficient de proportionnalité.
Dans le chapitre précédent, tu as appris les notations des fonctions. Pour une fonction f, on note f(x) le nombre associé à x, et on écrit aussi f : x ↦ f(x).
La fonction f est définie par f(x) = 4x + 1.
f(3) = 4 × 3 + 1 = 13 : on dit que 13 est l'IMAGE de 3 par f, et que 3 est un ANTÉCÉDENT de 13 par f.
Pour trouver un antécédent, on résout une équation : l'antécédent de 21 vérifie 4x + 1 = 21, donc 4x = 20 et x = 5.
Proportionnalité = on multiplie toujours par le même nombre.
f(x) se lit « f de x » : c'est l'image de x par la fonction f.
Chez le fromager, le prix d'un morceau de comté est proportionnel à sa masse : le kilogramme coûte 15 €. Pour 2 kg on paie 30 €, pour 0,8 kg on paie 12 €, pour 3 kg on paie 45 €. À chaque masse correspond UN prix : c'est une fonction ! Et pour l'obtenir, on multiplie toujours par 15.
On peut donc noter cette fonction p : x ↦ 15x, où x est la masse en kilogrammes et p(x) le prix en euros. Une fonction de cette forme porte un nom.
Une fonction linéaire est une fonction de la forme x ↦ a × x, où a est un nombre fixé.
Ce nombre a s'appelle le coefficient de la fonction linéaire.
f : x ↦ 7x est une fonction linéaire, de coefficient 7.
f(3) = 7 × 3 = 21 et f(−2) = 7 × (−2) = −14.
Pour calculer une image, je remplace x par le nombre demandé.
Contre-exemple : g : x ↦ 3x + 2 n'est PAS une fonction linéaire.
On ne fait pas seulement « × 3 » : on ajoute encore 2. L'écriture 3x + 2 n'est pas de la forme a × x.
On le voit sur les nombres : g(1) = 5 et g(2) = 8. Si c'était proportionnel, doubler x devrait doubler l'image… or 8 ≠ 2 × 5.
Fonction linéaire ⟺ situation de proportionnalité : le coefficient a est le coefficient de proportionnalité.
Pour une fonction linéaire, f(0) = a × 0 = 0 : l'image de 0 est toujours 0.
Méthode : modéliser une proportionnalité par une fonction linéaire.
1) Je repère les deux grandeurs et je note x celle que je choisis.
2) Je cherche le coefficient : je divise une valeur connue par son antécédent.
3) J'écris f(x) = a × x.
Exemple : un mobile avance à la vitesse constante de 5 m/s. En 1 s il parcourt 5 m, donc a = 5 et la distance parcourue en x secondes est d(x) = 5x.
Question 1 — Parmi ces fonctions, laquelle est linéaire ?
Question 2 — Le comté coûte 15 € le kilogramme, donc p(x) = 15x. Combien coûte un morceau de 0,8 kg ?
Question 3 — Le prix payé est proportionnel à la masse achetée et 1 kg coûte 15 €. Quelle fonction donne le prix p(x) de x kilogrammes ?
À la piscine, un tarif propose 40 € d'adhésion pour l'année, puis 1 € par entrée. Pour x entrées, on paie t(x) = x + 40. Ici, le prix n'est PAS proportionnel au nombre d'entrées : même sans y aller, on paie déjà 40 €. Ce n'est donc pas une fonction linéaire… mais elle lui ressemble beaucoup.
Une fonction affine est une fonction de la forme x ↦ a × x + b, où a et b sont deux nombres fixés.
a s'appelle le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine.
f : x ↦ 5x − 1 est une fonction affine, avec a = 5 et b = −1.
f(0) = 5 × 0 − 1 = −1 et f(2) = 5 × 2 − 1 = 9.
Une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine : c'est celle où b = 0. Ainsi x ↦ 7x est affine ET linéaire, alors que x ↦ 5x − 1 est affine mais pas linéaire.
Contre-exemple : h : x ↦ x² n'est ni linéaire ni affine.
On ne peut pas l'écrire sous la forme a × x + b : h(1) = 1, h(2) = 4, h(3) = 9… les images n'augmentent pas toujours de la même quantité.
La représentation graphique d'une fonction affine est une DROITE.
Cette droite passe par l'origine du repère si et seulement si la fonction est linéaire (c'est-à-dire si b = 0).
Méthode : tracer la droite de la fonction f : x ↦ 2x + 1.
1) Je choisis deux valeurs de x faciles, par exemple 0 et 2.
2) Je calcule leurs images : f(0) = 1 et f(2) = 2 × 2 + 1 = 5.
3) Je place les points (0 ; 1) et (2 ; 5), puis je trace la droite qui les relie.
4) Je vérifie avec un troisième point : f(1) = 3, et le point (1 ; 3) est bien sur la droite.
Cette droite raconte toute la fonction. Les deux nombres a et b se lisent directement dessus.
b = f(0) : c'est l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées (l'axe vertical).
a est ce que gagne f(x) quand x augmente de 1 : sur la droite, j'avance de 1 vers la droite et je monte de a.
Sur la droite de f : x ↦ 2x + 1 :
elle coupe l'axe des ordonnées en (0 ; 1), donc b = 1 ;
de x = 0 à x = 1, l'image passe de 1 à 3 : elle monte de 2, donc a = 2 ;
de x = 1 à x = 2, elle passe de 3 à 5 : encore +2. C'est toujours le même saut.
Les SIGNES de a et de b se lisent, eux, d'un simple coup d'œil sur l'allure de la droite.
Si a > 0, la droite MONTE de gauche à droite (f(x) augmente) ; si a < 0, elle DESCEND (f(x) diminue) ; si a = 0, elle est horizontale (f est constante).
Si b > 0, la droite coupe l'axe des ordonnées au-dessus de l'origine ; si b < 0, en dessous ; si b = 0, elle passe par l'origine.
f : x ↦ 3x − 4 : a = 3 > 0 et b = −4 < 0.
Sa droite monte, et elle coupe l'axe des ordonnées en (0 ; −4), donc sous l'origine.
g : x ↦ −3x : a = −3 < 0 et b = 0. Sa droite descend et passe par l'origine (g est linéaire).
Question 1 — La fonction f est définie par f(x) = 5x − 1. Quelle est son ordonnée à l'origine b ?
Question 2 — Une droite représente une fonction affine. Elle monte de gauche à droite et coupe l'axe des ordonnées au-dessus de l'origine. Que peut-on dire de a et de b ?
Question 3 — La fonction f est définie par f(x) = 3x + 4. Quand x augmente de 1, que devient f(x) ?
Jusqu'ici, on te donnait la fonction et tu calculais des images. On fait maintenant le chemin inverse : on connaît quelques images (ou une droite tracée) et on cherche l'expression de la fonction, c'est-à-dire a et b.
Méthode 1 : fonction LINÉAIRE, une seule image suffit.
Énoncé : f est linéaire et f(4) = 5. Détermine f.
1) f est linéaire, donc f(x) = a × x.
2) Je remplace : a × 4 = 5, donc a = 5 ÷ 4 = 1,25.
3) Conclusion : f(x) = 1,25x.
Vérification : 1,25 × 4 = 5. ✔
Pour une fonction affine, une seule image ne suffit plus : il y a DEUX nombres à trouver, a et b. Il faut donc deux informations. On commence toujours par a.
Pour une fonction affine f, si on connaît f(x₁) et f(x₂) avec x₁ différent de x₂, alors :
a = (f(x₁) − f(x₂)) ÷ (x₁ − x₂).
Autrement dit : a = (accroissement des images) ÷ (accroissement des nombres de départ).
Méthode 2 : fonction AFFINE, à partir de deux images.
Énoncé : g est affine, g(3) = 8 et g(−1) = −12. Détermine g.
1) Coefficient directeur : a = (8 − (−12)) ÷ (3 − (−1)) = 20 ÷ 4 = 5.
2) Ordonnée à l'origine : j'utilise une image connue, par exemple g(3) = 8. Comme g(x) = 5x + b, on a 5 × 3 + b = 8, donc 15 + b = 8 et b = −7.
3) Conclusion : g(x) = 5x − 7.
Vérification avec l'AUTRE image : g(−1) = 5 × (−1) − 7 = −12. ✔
Méthode 3 : à partir d'une droite tracée.
1) Je lis l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées : c'est b.
2) Je pars de ce point, j'avance de 1 vers la droite et je regarde de combien je monte (ou je descends) : c'est a.
Exemple : une droite coupe l'axe des ordonnées en (0 ; 1) et monte de 2 quand x augmente de 1 → elle représente x ↦ 2x + 1.
Cas particulier : une droite qui passe par l'origine et par (2 ; 6) représente une fonction linéaire, de coefficient 6 ÷ 2 = 3, soit x ↦ 3x.
Question 1 — f est une fonction linéaire et f(4) = 12. Quelle est son expression ?
Question 2 — g est une fonction affine avec g(1) = 3 et g(4) = 9. Que vaut son coefficient directeur a ?
Question 3 — Cette même fonction affine g vérifie g(1) = 3 et a pour coefficient directeur a = 2. Que vaut son ordonnée à l'origine b ?
« Soldes : −30 % sur toute la boutique ! » Une jupe à 80 € coûtera donc 80 − 24 = 56 €. Mais si on doit refaire ce calcul pour tous les articles du magasin, c'est long. Il existe un raccourci : une seule multiplication.
Augmenter une quantité de t %, c'est la multiplier par 1 + t/100.
Diminuer une quantité de t %, c'est la multiplier par 1 − t/100.
Ce nombre s'appelle le coefficient multiplicateur de l'évolution.
Les cas à savoir refaire :
+ 5 % → × 1,05 (on passe à 105 % de la valeur) ;
+ 8 % → × 1,08 ; + 20 % → × 1,2 ;
− 20 % → × 0,8 (il reste 80 % de la valeur) ;
− 30 % → × 0,7 ; − 10 % → × 0,9.
Contre-exemple : une baisse de 30 % ne se traduit PAS par × 0,3.
Multiplier par 0,3, ce serait ne garder que 30 % du prix, c'est-à-dire une baisse de 70 % ! Après une baisse de 30 %, il RESTE 70 % du prix, donc on multiplie par 0,7.
Sur la jupe à 80 € : 80 × 0,7 = 56 €, ce qui est bien le prix trouvé plus haut.
Comme on multiplie tous les prix par le même nombre, l'ancien prix et le nouveau prix sont proportionnels : une évolution en pourcentage se modélise par une fonction LINÉAIRE.
Méthode : modéliser une évolution par une fonction linéaire.
Énoncé : pendant les soldes, tous les prix baissent de 30 %. Exprime le prix soldé p(x) d'un article qui coûtait x euros.
1) Je traduis le pourcentage en coefficient : 1 − 30/100 = 1 − 0,3 = 0,7.
2) J'écris la fonction : p(x) = 0,7x. Elle est linéaire, de coefficient 0,7.
3) Je m'en sers pour tous les articles : p(80) = 56 €, p(45) = 31,50 €, p(120) = 84 €.
Méthode : revenir au prix d'avant l'évolution.
Énoncé : après une augmentation de 8 %, un article coûte 52,38 €. Quel était son prix initial ?
1) L'augmentation de 8 % revient à multiplier par 1,08.
2) Pour faire le chemin inverse d'une multiplication, on DIVISE par le coefficient : 52,38 ÷ 1,08 = 48,50.
3) Le prix initial était 48,50 €.
Vérification : 48,50 × 1,08 = 52,38. ✔
Question 1 — Diminuer un prix de 20 %, c'est le multiplier par…
Question 2 — Un article coûte 60 €. Son prix augmente de 5 %. Quel est son nouveau prix ?
Question 3 — Un prix baisse de 20 %, puis baisse encore de 10 %. Au total, de combien a-t-il baissé ?
Ton mémo complet est dans l’encadré « Mémo ». Prêt·e pour les défis ?