Niveau 3ᵉ · Cours
🎯 À la fin de ce chapitre, je sais : calculer une longueur avec le théorème de Thalès en configuration « papillon » · démontrer que deux droites sont parallèles, ou qu'elles ne le sont pas · reconnaître deux triangles semblables et s'en servir · résoudre des problèmes d'agrandissement et de réduction.
En 4e, tu as utilisé le théorème de Thalès dans la configuration des « triangles emboîtés » : un petit triangle glissé dans un grand, avec un côté parallèle.
Rappel de 4e — ABC est un triangle, M est un point de [AB] et N un point de [AC], avec (MN) parallèle à (BC).
Le théorème de Thalès donne alors : AM/AB = AN/AC = MN/BC.
Si AM = 2 cm, AB = 6 cm et AC = 9 cm, alors AN = 2 × 9 ÷ 6 = 3 cm.
Thalès relie des longueurs quand deux droites sont PARALLÈLES.
La nouveauté de la 3e : la même chose quand les points sont de part et d'autre du point d'intersection.
Imagine deux routes rectilignes qui se croisent à un carrefour. Deux passerelles parallèles les relient : l'une avant le carrefour, l'autre après. La figure obtenue ressemble à deux ailes de papillon qui se touchent en un point : d'où son nom.
On est en configuration « papillon » quand deux droites sont sécantes en un point A, et que les points d'une même droite sont situés DE PART ET D'AUTRE de A.
Le théorème de Thalès s'applique exactement de la même façon que pour les triangles emboîtés.
Méthode — les droites (BE) et (CD) sont sécantes en A. Les points B et C sont d'un côté de A, les points D et E de l'autre. Les droites (BC) et (DE) sont parallèles. On donne AB = 3 cm, AC = 4 cm et AD = 8 cm ; calculons AE.
1) Je repère les points qui se correspondent : B et E sont sur la même droite ; C et D aussi.
2) J'écris les rapports dans cet ordre : AB/AE = AC/AD = BC/DE.
3) Je remplace : 3/AE = 4/8 = 0,5.
4) Je calcule en croix : AE = 3 × 8 ÷ 4 = 6 cm.
Papillon : les points sont de part et d'autre du point d'intersection — le théorème s'écrit pareil.
J'apparie d'abord les points qui se correspondent, puis j'écris les rapports.
Question 1 — Qu'est-ce qui caractérise la configuration papillon ?
Question 2 — Les droites (BE) et (CD) sont sécantes en A, avec B et C d'un côté, D et E de l'autre, et (BC) parallèle à (DE). Si AB = 3 cm, AC = 4 cm et AD = 8 cm, que vaut AE ?
Question 3 — De quoi a-t-on absolument besoin pour appliquer le théorème de Thalès ?
Jusqu'ici, on SAVAIT que deux droites étaient parallèles et on calculait une longueur. Renversons la question : on connaît les longueurs, et on veut savoir si les droites sont parallèles. C'est le rôle de la réciproque.
Réciproque du théorème de Thalès : si les deux rapports de longueurs sont ÉGAUX, et si les points sont alignés dans le MÊME ORDRE sur les deux droites, alors les droites sont parallèles.
Contraposée : si les deux rapports sont DIFFÉRENTS, alors les droites ne sont pas parallèles.
Méthode — je calcule les deux rapports SÉPARÉMENT, puis je compare :
1) D'une part : 3/5 = 0,6.
2) D'autre part : 6/10 = 0,6.
3) Les deux rapports sont égaux et les points sont dans le même ordre : les droites SONT parallèles.
Un cas où la réponse est « non » :
D'une part 8/10 = 0,8 ; d'autre part 9/12 = 0,75.
0,8 ≠ 0,75, donc les droites ne sont PAS parallèles (c'est la contraposée).
Rapports égaux + même ordre → droites parallèles (réciproque).
Rapports différents → droites non parallèles (contraposée).
Question 1 — Dans une configuration de Thalès, on calcule les deux rapports : 3/5 = 0,6 et 6/10 = 0,6. Les points sont alignés dans le même ordre. Que peut-on conclure ?
Question 2 — Cette fois, les deux rapports valent 8/10 = 0,8 et 9/12 = 0,75. Que peut-on conclure ?
Question 3 — Deux rapports sont égaux, mais les points ne sont PAS alignés dans le même ordre sur les deux droites. Peut-on conclure que les droites sont parallèles ?
Sur une photo agrandie, les personnages gardent exactement la même forme : seules les dimensions changent. Deux triangles qui ont la même forme, mais pas forcément la même taille, portent un nom : on dit qu'ils sont semblables.
Deux triangles sont semblables lorsque leurs angles sont deux à deux de même mesure.
Propriété caractéristique : leurs côtés sont alors proportionnels (les longueurs qui se correspondent sont toutes multipliées par le même nombre).
Méthode 1 — avec les ANGLES. Le triangle RST a des angles de 40°, 60° et 80°. Le triangle UVW a un angle de 40° et un angle de 60°.
Dans un triangle, la somme des angles vaut 180°, donc le troisième angle de UVW mesure 180 − 40 − 60 = 80°.
Les angles sont deux à deux égaux : les triangles RST et UVW sont semblables.
Méthode 2 — avec les CÔTÉS. PQR a pour côtés 4 cm, 6 cm et 8 cm ; XYZ a pour côtés 10 cm, 15 cm et 20 cm.
Je range les côtés du plus petit au plus grand et je compare :
10/4 = 2,5 ; 15/6 = 2,5 ; 20/8 = 2,5.
Les trois rapports sont égaux : les triangles sont semblables, XYZ est un agrandissement de PQR de rapport 2,5.
Semblables = mêmes angles deux à deux ; les côtés sont alors proportionnels.
Pour comparer les côtés, j'associe le plus petit avec le plus petit, et ainsi de suite.
Question 1 — Deux triangles sont semblables lorsque…
Question 2 — Le triangle PQR a pour côtés 4 cm, 6 cm et 8 cm ; le triangle XYZ a pour côtés 10 cm, 15 cm et 20 cm. Sont-ils semblables ?
Question 3 — Deux triangles isocèles sont-ils toujours semblables ?
Une photocopieuse réglée sur 200 % double toutes les longueurs ; réglée sur 50 %, elle les divise par deux. Dans les deux cas, la figure garde exactement la même forme : c'est une situation de proportionnalité en géométrie.
Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k, toutes les longueurs de la figure sont multipliées par k.
Si k > 1, c'est un agrandissement ; si 0 < k < 1, c'est une réduction.
Les mesures des angles, elles, ne changent PAS.
Méthode — trouver le rapport : je divise une longueur de la nouvelle figure par la longueur qui lui correspond dans l'ancienne.
Un côté qui mesurait 5 cm mesure maintenant 12,5 cm :
k = 12,5 ÷ 5 = 2,5. C'est un agrandissement de rapport 2,5.
Autre exemple — le triangle OAB a pour côtés 2 cm, 3 cm et 4 cm ; le triangle OMN a pour côtés 6 cm, 9 cm et 12 cm.
6 ÷ 2 = 3 ; 9 ÷ 3 = 3 ; 12 ÷ 4 = 3.
OMN est un agrandissement de OAB de rapport 3.
Agrandissement / réduction : toutes les longueurs sont MULTIPLIÉES par le même nombre k.
Les angles sont conservés ; k > 1 agrandit, k < 1 réduit.
Question 1 — Un côté qui mesurait 5 cm mesure maintenant 12,5 cm. Quel est le rapport de cet agrandissement ?
Question 2 — Lors d'un agrandissement ou d'une réduction, qu'est-ce qui est conservé ?
Question 3 — Le triangle OAB a pour côtés 2 cm, 3 cm et 4 cm ; le triangle OMN a pour côtés 6 cm, 9 cm et 12 cm. Que peut-on dire ?
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