Niveau 3ᵉ · Cours
🎯 À la fin de ce chapitre, je sais : reconnaître un carré parfait et utiliser la définition de la racine carrée · donner la valeur exacte puis une valeur approchée d'une racine carrée et l'encadrer · résoudre des problèmes mettant en jeu des racines carrées. (Les équations du type x² = a, elles, seront étudiées au chapitre suivant.)
En 4e, tu as croisé la racine carrée avec le théorème de Pythagore : quand on connaît le carré d'une longueur, la touche √ de la calculatrice permet de retrouver la longueur.
Carrés parfaits : ce sont les carrés des nombres entiers.
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144…
Leur racine carrée est un nombre entier : √49 = 7 car 7² = 49.
Lien avec Pythagore (4e) : si BC² = 9 + 16 = 25,
alors BC = √25 = 5 cm : la racine carrée « défait » le carré.
Un carré parfait est le carré d'un nombre entier.
La racine carrée retrouve un nombre positif à partir de son carré.
Un carré a une aire de 25 cm² : son côté mesure 5 cm, car 5² = 25. Trace maintenant un carré d'aire 2 cm²… Son côté n'est ni 1,4 cm (1,4² = 1,96), ni 1,5 cm (1,5² = 2,25) ! Ce nombre « introuvable » existe pourtant : on le note √2, et il mérite un nom.
La racine carrée d'un nombre positif a est le nombre POSITIF, noté √a, dont le carré est a. Le symbole √ est appelé « radical ».
Pour tout nombre positif a : (√a)² = a et √(a²) = a.
√81 = 9, car 9 est positif et 9² = 81.
√0,49 = 0,7, car 0,7 est positif et 0,7² = 0,49.
(√7)² = 7 : élever au carré « défait » la racine carrée.
Contre-exemple : √(−5) n'existe pas.
Un nombre au carré n'est jamais négatif : aucun nombre n'a pour carré −5. La racine carrée n'existe que pour les nombres positifs.
√a = le nombre positif dont le carré vaut a (a positif).
(√a)² = a : c'est le réflexe à avoir dans les calculs.
Question 1 — Que vaut √64 ?
Question 2 — Pourquoi √(−25) n'existe-t-il pas ?
Question 3 — Lequel de ces nombres est un carré parfait ?
Tape √625 à la calculatrice : elle affiche 25, et c'est la valeur EXACTE (25² = 625). Tape maintenant √2 : elle affiche 1,414213562… mais l'écran s'arrête là, pas les décimales ! Ce n'est qu'une valeur APPROCHÉE : la seule écriture exacte de ce nombre est √2.
Si a est un carré parfait (ou le carré d'un nombre décimal), √a a une écriture décimale exacte : √625 = 25, √12,25 = 3,5.
Sinon, l'écriture √a EST la valeur exacte ; la calculatrice n'en donne que des valeurs approchées : √2 ≈ 1,414.
Méthode pas à pas : encadrer √17 sans calculatrice.
1) J'encadre 17 par deux carrés parfaits : 16 < 17 < 25.
2) Je prends les racines : 4 < √17 < 5 (car 4² = 16 et 5² = 25).
3) J'affine au dixième en testant les carrés : 4,1² = 16,81 et 4,2² = 17,64, or 16,81 < 17 < 17,64.
Conclusion : 4,1 < √17 < 4,2, et la calculatrice confirme √17 ≈ 4,123.
Contre-exemple : √2 = 1,414 est une égalité FAUSSE.
1,414² = 1,999396, ce qui n'est pas 2 : 1,414 n'est qu'une valeur approchée. On écrit √2 ≈ 1,414 (avec le symbole ≈).
Carré parfait (ou carré d'un décimal) → racine exacte ; sinon la valeur exacte s'écrit avec le radical : √17.
Pour encadrer √a : deux carrés parfaits autour de a, puis j'affine au dixième en testant les carrés.
Question 1 — Entre quels entiers consécutifs √52 est-il compris ?
Question 2 — Laquelle de ces égalités est exacte ?
Question 3 — La valeur EXACTE du côté d'un carré d'aire 17 cm² est…
« Détermine la valeur exacte puis approchée au millimètre près du côté d'un carré d'aire 17 cm². » Voilà le problème type de 3e : une aire ou un carré de longueur est connu, et la racine carrée permet de remonter à la longueur.
Méthode « côté d'un carré » : aire A → côté √A.
1) L'aire d'un carré de côté c est c², donc c est le nombre positif dont le carré vaut A : c = √A.
2) Valeur exacte : pour A = 17 cm², le côté vaut √17 cm.
3) Valeur approchée si demandée : √17 ≈ 4,123, donc environ 4,1 cm au millimètre près.
Méthode « diagonale » : Pythagore puis racine carrée.
1) La diagonale d'un carré de côté 2,5 cm est l'hypoténuse d'un triangle rectangle : d² = 2,5² + 2,5² = 12,5.
2) Valeur exacte : d = √12,5 cm.
3) Valeur approchée : √12,5 ≈ 3,535, soit 3,5 cm au millimètre près.
Côté d'un carré d'aire A : c = √A ; diagonale ou côté manquant : Pythagore, puis racine carrée du résultat.
Réponse en deux temps : valeur exacte avec le radical, puis valeur approchée arrondie comme demandé.
Question 1 — Un carré a une aire de 36 m². Son côté mesure…
Question 2 — Un triangle rectangle a des côtés de l'angle droit de 2 cm et 5 cm. Son hypoténuse mesure…
Question 3 — Dans un calcul, on trouve BC² = 25. La longueur BC vaut…
Ton mémo complet est dans l’encadré « Mémo ». Prêt·e pour les défis ?