Niveau 3ᵉ · Cours
🎯 À la fin de ce chapitre, je sais : reconnaître un nombre premier · décomposer un entier en produit de facteurs premiers · rendre une fraction irréductible · résoudre des problèmes de divisibilité (engrenages, phénomènes qui se répètent).
Depuis la 6e, tu manipules les multiples et les diviseurs. Par exemple, 54 = 6 × 9 : on dit que 54 est un multiple de 6, que 54 est divisible par 9, ou encore que 6 et 9 sont des diviseurs de 54.
Critères de divisibilité à connaître par cœur :
• par 2 : le nombre est pair (il finit par 0, 2, 4, 6 ou 8) ;
• par 5 : il finit par 0 ou 5 ;
• par 3 : la somme de ses chiffres est divisible par 3 ;
• par 9 : la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Division euclidienne : ranger 183 œufs dans des boîtes de 12.
183 = 12 × 15 + 3, avec 3 < 12.
15 est le quotient (15 boîtes pleines), 3 est le reste (3 œufs non rangés).
a = b × q + r avec r < b : c'est la division euclidienne.
« a est divisible par b » veut dire que le reste vaut 0.
Prends 12 jetons : tu peux les ranger en rectangle de 2 lignes de 6, ou de 3 lignes de 4. Prends maintenant 13 jetons : impossible de faire un rectangle, sauf une seule ligne de 13 ! Certains nombres ne se « cassent » pas en produit : ce sont les nombres premiers.
Un nombre premier est un nombre entier qui possède EXACTEMENT deux diviseurs : 1 et lui-même.
Les nombres premiers plus petits que 30 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 et 29.
13 est premier : ses seuls diviseurs sont 1 et 13.
Premier = exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
Pour tester, j'essaie de diviser par 2, 3, 5, 7, 11… (les critères de divisibilité aident).
Question 1 — Lequel de ces nombres est premier ?
Question 2 — Combien de diviseurs possède un nombre premier ?
Question 3 — 91 est-il un nombre premier ?
Casse le nombre 60 : 60 = 6 × 10. Casse encore chaque morceau : 6 = 2 × 3 et 10 = 2 × 5. On ne peut plus rien casser : 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5. Les nombres premiers sont les « briques » de tous les nombres entiers.
Tout nombre entier plus grand que 1 peut s'écrire comme un produit de facteurs qui sont TOUS des nombres premiers : c'est sa décomposition en produit de facteurs premiers.
Méthode pour décomposer 306 :
1) 306 est pair : 306 = 2 × 153.
2) 153 n'est pas pair ; 1 + 5 + 3 = 9, divisible par 3 : 153 = 3 × 51.
3) 51 = 3 × 17, et 17 est premier : on s'arrête.
Résultat : 306 = 2 × 3 × 3 × 17 = 2 × 3² × 17.
Je divise par les nombres premiers dans l'ordre : 2, puis 3, puis 5, 7, 11…
Je m'arrête quand le quotient est premier, et je regroupe les facteurs répétés avec des puissances.
Question 1 — Quelle est la décomposition en facteurs premiers de 12 ?
Question 2 — Quelle est la décomposition en facteurs premiers de 45 ?
Question 3 — Pour décomposer 126, par quel nombre premier commence-t-on ?
Comment simplifier 66/30 au maximum, sans tâtonner ? Avec les décompositions : 66 = 2 × 3 × 11 et 30 = 2 × 3 × 5. On barre les facteurs communs (2 et 3)… il reste 11/5, impossible à simplifier davantage.
Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur n'ont AUCUN facteur premier commun : on ne peut plus la simplifier.
Méthode pour rendre 140/340 irréductible :
1) Décompose : 140 = 2² × 5 × 7 et 340 = 2² × 5 × 17.
2) Barre les facteurs communs : 2² et 5.
3) Il reste 140/340 = 7/17 : fraction irréductible.
Irréductible = plus aucun facteur premier commun en haut et en bas.
Méthode sûre : je décompose numérateur et dénominateur, puis je barre les facteurs communs.
Question 1 — Quelle est la forme irréductible de 66/30 ?
Question 2 — Une fraction est irréductible quand…
Question 3 — Quelle est la forme irréductible de 12/51 ?
Deux ampoules clignotent, l'une toutes les 153 s, l'autre toutes les 187 s. Elles s'allument ensemble à minuit… Quand se rallumeront-elles ensemble ? Ce genre de « rendez-vous » entre deux phénomènes qui se répètent se résout avec les facteurs premiers.
Méthode « rendez-vous » (phénomènes périodiques) :
1) Le moment cherché est un multiple commun aux deux durées : on veut le PLUS PETIT.
2) Décompose : 153 = 3² × 17 et 187 = 11 × 17.
3) Prends chaque facteur premier avec son plus grand exposant : 3² × 11 × 17 = 1 683.
Les ampoules se rallument ensemble 1 683 s plus tard, soit à 0 h 28 min 3 s.
Méthode « partage maximal » (bouquets, lots, équipes…) :
1) Le nombre de lots doit diviser CHAQUE quantité : c'est un diviseur commun, on veut le PLUS GRAND.
2) 30 marguerites et 24 tulipes : les diviseurs communs à 30 et 24 sont 1, 2, 3 et 6.
3) Le fleuriste fait donc 6 bouquets, de 5 marguerites et 4 tulipes chacun.
Je décompose les nombres, puis je choisis : plus petit multiple commun (rendez-vous) ou plus grand diviseur commun (partage).
Plus petit multiple commun = chaque facteur premier avec son PLUS GRAND exposant.
Question 1 — Deux feux clignotent, l'un toutes les 4 s, l'autre toutes les 6 s. Ils viennent de clignoter ensemble. Dans combien de temps clignoteront-ils de nouveau ensemble ?
Question 2 — Pour savoir quand deux phénomènes périodiques se reproduisent ensemble, on cherche…
Question 3 — Avec 30 marguerites et 24 tulipes, combien de bouquets identiques peut-on faire au maximum (en utilisant tout) ?
Ton mémo complet est dans l’encadré « Mémo ». Prêt·e pour les défis ?