Niveau 4ᵉ · Cours
Deux triangles sont « égaux » (on dit aussi superposables) quand on peut poser l'un exactement sur l'autre. Pas besoin de tout mesurer : trois informations bien choisies suffisent à le garantir.
Deux triangles sont égaux dans l'un de ces trois cas :
1) leurs trois côtés sont deux à deux de même longueur ;
2) ils ont un côté de même longueur compris entre deux angles égaux ;
3) ils ont deux côtés de même longueur et l'angle compris entre eux égal.
Deux triangles de côtés 3 cm, 4 cm et 5 cm chacun : ils sont égaux (cas 1).
Deux triangles avec un côté de 5 cm entre des angles de 40° et 60° : égaux (cas 2).
Triangles égaux : (3 côtés) OU (1 côté + 2 angles) OU (2 côtés + l'angle compris).
Ces cas servent à justifier que des longueurs ou des angles sont égaux.
Question 1 — Deux triangles ont leurs trois côtés deux à deux égaux. Sont-ils égaux ?
Question 2 — Deux triangles ont seulement un côté de même longueur. Sont-ils forcément égaux ?
Question 3 — Pour prouver que deux triangles sont égaux, il suffit de connaître…
Quand deux triangles sont « emboîtés » (un sommet commun et deux côtés parallèles), leurs longueurs sont proportionnelles. C'est le théorème de Thalès.
Soit A un sommet commun, B' sur [AB], C' sur [AC], avec (B'C') // (BC).
Alors : AB'/AB = AC'/AC = B'C'/BC.
Le petit triangle AB'C' et le grand triangle ABC ont des côtés proportionnels.
A sommet commun, (B'C')//(BC). On donne AB' = 2, AB = 6 et BC = 9.
Alors AB'/AB = B'C'/BC → 2/6 = B'C'/9 → B'C' = (2 × 9) ÷ 6 = 3.
Situation de Thalès : sommet commun + deux côtés parallèles.
AB'/AB = AC'/AC = B'C'/BC → produit en croix pour la longueur manquante.
Question 1 — Situation de Thalès : AB' = 3, AB = 6, BC = 10. Combien vaut B'C' ?
Question 2 — Le théorème de Thalès sert à…
Question 3 — Situation de Thalès : AB' = 4, AB = 8, AC = 12. Combien vaut AC' ?
Le théorème de Thalès calcule des longueurs. Sa réciproque fait l'inverse : elle permet de PROUVER que deux droites sont parallèles.
Si les points sont alignés dans le même ordre et que AB'/AB = AC'/AC, alors (B'C') // (BC).
On calcule les deux rapports : CB/CE = 3/4 = 0,75 et CA/CD = 4,5/6 = 0,75.
Les rapports sont égaux (et les points alignés dans le même ordre) → les droites sont parallèles.
Contre-exemple : CP/CD = 4/6 ≈ 0,67 et CR/CE = 2,5/4 = 0,625.
Les rapports sont différents → les droites ne sont PAS parallèles.
Réciproque : rapports égaux (+ même ordre) → droites parallèles.
Rapports différents → droites non parallèles.
Question 1 — Les deux rapports valent 0,75 et 0,75 (points alignés dans le même ordre). Les droites sont-elles parallèles ?
Question 2 — Les deux rapports valent 0,67 et 0,625. Les droites sont-elles parallèles ?
Question 3 — Pour démontrer que deux droites sont parallèles, on utilise…
Agrandir ou réduire une figure, c'est multiplier toutes ses longueurs par un même nombre k, appelé coefficient. C'est une autre façon de voir Thalès.
Dans un agrandissement (ou une réduction) de coefficient k :
chaque nouvelle longueur = k × (longueur de départ).
k > 1 : agrandissement ; 0 < k < 1 : réduction.
Agrandissement de coefficient k = 3 : un côté de 4 cm devient 4 × 3 = 12 cm.
Réduction de coefficient k = 0,5 : un côté de 10 cm devient 10 × 0,5 = 5 cm.
Agrandissement / réduction : toutes les longueurs sont multipliées par k.
k = (nouvelle longueur) ÷ (longueur de départ).
Question 1 — Un triangle est agrandi avec un coefficient k = 3. Un côté de 5 cm devient…
Question 2 — Une réduction de coefficient k = 0,5 transforme un côté de 12 cm en…
Question 3 — Un côté de 4 cm devient 12 cm après agrandissement. Quel est le coefficient k ?
Ton mémo complet est dans l’encadré « Mémo ». Prêt·e pour les défis ?