Niveau 5ᵉ · Cours
En 6e, tu as appris la symétrie axiale : deux figures sont symétriques par rapport à une droite (d) si elles se superposent par pliage le long de (d).
[MM'] ⊥ (d) et M, M' sont à égale distance de (d).
(d) est la médiatrice du segment [MM'].
La symétrie axiale conserve les longueurs, les angles et le parallélisme.
La marque ∟ montre [MM'] ⊥ (d). Les deux traits = montrent que M et M' sont à égale distance de (d).
Axe de symétrie (d) : [MM'] ⊥ (d) et M, M' équidistants de (d).
(d) est la médiatrice de [MM'].
Voici deux figures symétriques par rapport à un point O (et non plus une droite). Observons ce qui se passe :
Les marques = montrent que OA = OA', OB = OB', OC = OC' : O est le milieu de chaque segment. C'est un demi-tour de 180°.
La symétrie centrale de centre O fait tourner une figure de 180° autour de O. Dans notre exemple, le triangle rouge est le symétrique du triangle bleu par rapport à O.
Le point M' est le symétrique de M par rapport à O si et seulement si O est le milieu du segment [MM'].
Symétrie centrale de centre O : M' image de M ⟺ O milieu de [MM'].
C'est un demi-tour de 180° autour de O.
Dans notre exemple, que conserve la symétrie centrale ? Mesurons sur le dessin :
Deux droites symétriques par symétrie centrale sont parallèles.
Dans notre exemple : (AB) // (A'B') et (BC) // (B'C').
La symétrie centrale conserve : longueurs, angles, parallélisme, aires.
Deux droites symétriques par rapport à O sont parallèles.
Deux cercles symétriques ont le même rayon.
Sans calcul !
Question 1 — La symétrie centrale conserve-t-elle les longueurs ?
Question 2 — AB = 7 cm. A'B' est le symétrique de AB par rapport à O. Que vaut A'B' ?
Question 3 — Les droites (D1) et (D2) sont parallèles. Leurs symétriques (D1') et (D2') par rapport à O sont…
Question 4 — Un cercle de rayon 4 cm a pour symétrique (/ O) un cercle de rayon…
Pour construire le symétrique A' d'un point A par rapport à O, on utilise la définition : O doit être le milieu de [AA'].
O est le milieu de [AA'] : OA = OA'.
Si A a les coordonnées (3 ; 1) et O est à l'origine (0 ; 0) :
→ A' = (2×0 − 3 ; 2×0 − 1) = (−3 ; −1)
Formule : xA' = 2×xO − xA et yA' = 2×yO − yA
Pour construire A' sym. de A / O : trace [AO) et reporte OA de l'autre côté de O.
En coordonnées : xA' = 2xO − xA et yA' = 2yO − yA.
O est le milieu de [AA'] : OA' = OA.
Pour construire le symétrique d'un triangle (ou de toute figure), on construit le symétrique de chaque sommet, puis on relie.
Si O est le centre du carré ABCD (intersection des diagonales), alors A' = C et B' = D. Le carré est son propre symétrique : O est son centre de symétrie.
Pour construire le sym. d'une figure : construire le sym. de chaque sommet, puis relier.
La figure image est identique (même forme, même taille), tournée de 180°.
Applique la définition !
Question 1 — O est le milieu de [AA']. OA = 5 cm. Que vaut OA' ?
Question 2 — A a les coordonnées (4 ; −2) et O est à l'origine. Quelles sont les coordonnées de A', symétrique de A par rapport à O ?
Question 3 — Pour construire le symétrique d'un triangle ABC par rapport à O, combien de points symétriques doit-on construire ?
Question 4 — ABCD est un carré. O est le centre (intersection des diagonales). Quel est le symétrique de A par rapport à O ?
Certaines figures ont des symétries : elles se superposent à elles-mêmes par pliage (axe) ou par demi-tour (centre).
Un axe de symétrie est une droite telle que, par pliage le long de cette droite, les deux parties de la figure se superposent. Dans notre exemple du carré, ses 4 diagonales et médianes sont des axes de symétrie.
Un centre de symétrie est un point O tel qu'un demi-tour de 180° autour de O laisse la figure identique à elle-même. Dans notre exemple, le centre du carré est un centre de symétrie.
Axes : 4 axes
Centre : Oui
Axes : 2 axes
Centre : Oui
Axes : 2 axes
Centre : Oui
Axes : 3 axes
Centre : Non
Axes : 1 axe
Centre : Non
Axes : 0 axe
Centre : Non
En rouge : les 2 axes médians (passent par les milieux des côtés). En violet : les 2 diagonales. O est le centre de symétrie.
Axe de symétrie → pliage : les deux moitiés coïncident.
Centre de symétrie → demi-tour de 180° : la figure se superpose à elle-même.
Polygone régulier à n côtés : n axes de symétrie ; centre de symétrie si n est pair.
Les propriétés de conservation permettent de mener des démonstrations. Voici la méthode en deux exemples.
M sym. de A / O et N sym. de B / O → O milieu de [AM] et de [BN] → les diagonales se coupent en leur milieu → ABMN est un parallélogramme.
Pour prouver AB // A'B' : citer que deux droites symétriques par sym. centrale sont parallèles.
Pour prouver qu'un quadrilatère est un parallélogramme : montrer que ses diagonales se coupent en leur milieu (prop. P2).
Identifie et justifie !
Question 1 — Un carré possède combien d'axes de symétrie ?
Question 2 — Un triangle équilatéral possède-t-il un centre de symétrie ?
Question 3 — M est le symétrique de A par rapport à O, N est le symétrique de B par rapport à O. Que peut-on dire de O ?
Question 4 — M sym. de A / O et N sym. de B / O. Le quadrilatère ABMN est un parallélogramme. Pourquoi ?
Ton mémo complet est dans l’encadré « Mémo ». Prêt·e pour les défis ?