Niveau 5ᵉ · Cours
Un triangle est une figure fermée à 3 côtés et 3 angles. Il existe différentes familles de triangles selon leurs côtés ou leurs angles.
Triangle quelconque : les 3 côtés ont des longueurs différentes.
Triangle isocèle : 2 côtés égaux. Les 2 angles à la base sont aussi égaux.
Triangle équilatéral : les 3 côtés sont égaux. Les 3 angles valent 60°.
Triangle rectangle : il possède un angle droit (90°).
Triangle ABC avec AB = 5 cm, BC = 5 cm, AC = 7 cm → isocèle (AB = BC).
Triangle DEF avec DE = EF = DF = 4 cm → équilatéral.
Triangle GHI avec l'angle en H = 90° → rectangle en H.
Un triangle isocèle a 2 côtés égaux ET 2 angles égaux (à la base).
Un triangle équilatéral est aussi isocèle (mais pas l'inverse !).
Un triangle peut être rectangle ET isocèle à la fois.
Dans n'importe quel triangle, les 3 angles ont toujours la même somme totale.
La somme des angles d'un triangle est toujours égale à 180°.
Si on note les angles A, B et C : A + B + C = 180°.
Triangle avec A = 60°, B = 80°. Alors C = 180° − 60° − 80° = 40°.
Triangle équilatéral : chaque angle = 180° ÷ 3 = 60°.
Triangle rectangle : angle droit = 90°, donc les 2 autres angles font 90° en tout.
Pour trouver un angle manquant : soustraire les deux autres angles de 180°.
Dans un triangle rectangle, les 2 angles aigus sont complémentaires (somme = 90°).
Question 1 — Un triangle a les angles 50°, 70° et… ?
Question 2 — Triangle ABC avec AB = AC = 6 cm et BC = 4 cm. Quel est son type ?
Question 3 — Dans un triangle rectangle, un angle aigu mesure 35°. Que mesure l'autre angle aigu ?
Trois longueurs ne forment pas toujours un triangle. Il faut vérifier une condition importante.
Pour que trois longueurs forment un triangle, chaque côté doit être plus court que la somme des deux autres.
En pratique : le grand côté doit être strictement inférieur à la somme des deux petits.
3 cm, 4 cm, 5 cm : le plus grand est 5. Or 3 + 4 = 7 > 5 → triangle possible !
2 cm, 3 cm, 8 cm : le plus grand est 8. Or 2 + 3 = 5 < 8 → triangle impossible !
5 cm, 5 cm, 10 cm : 5 + 5 = 10, pas strictement supérieur → triangle impossible.
Méthode rapide : additionne les deux plus petits côtés. Si la somme est supérieure au plus grand côté → triangle possible.
Si la somme est égale ou inférieure au grand côté → triangle impossible.
Dans un triangle, certaines droites spéciales permettent de trouver le centre, l'équilibre ou le point le plus haut.
La médiatrice d'un côté est la droite perpendiculaire à ce côté passant par son milieu.
La médiane relie un sommet au milieu du côté opposé.
La hauteur relie un sommet au pied de la perpendiculaire au côté opposé.
La bissectrice coupe un angle en deux parties égales.
Dans le triangle ABC, la médiatrice de [BC] passe par le milieu M de BC et est perpendiculaire à (BC).
La médiane issue de A relie A au milieu M du côté [BC].
La hauteur issue de A est la perpendiculaire abaissée de A vers la droite (BC).
Les 3 médiatrices d'un triangle se croisent en un même point : le centre du cercle circonscrit.
Les 3 médianes se croisent au centre de gravité (barycentre) du triangle.
Question 1 — Peut-on construire un triangle avec les côtés 4 cm, 6 cm et 11 cm ?
Question 2 — Peut-on construire un triangle avec les côtés 5 cm, 7 cm et 9 cm ?
Question 3 — La médiane d'un triangle relie…
Quand deux droites parallèles sont coupées par une troisième droite (appelée sécante), on obtient des paires d'angles avec des propriétés utiles.
Angles alternes-internes : situés de part et d'autre de la sécante, entre les deux parallèles. Ils sont ÉGAUX.
Angles correspondants : du même côté de la sécante, l'un entre les parallèles et l'autre à l'extérieur. Ils sont ÉGAUX.
Angles co-internes : du même côté de la sécante, entre les deux parallèles. Leur SOMME vaut 180°.
Droites (d₁) et (d₂) parallèles, coupées par (Δ). Angle de 65° en haut à gauche → angle alterné-interne en bas à droite = 65° aussi.
Angle correspondant à 65° (même côté, autre parallèle) = 65°.
Angle co-interne = 180° − 65° = 115°.
Alternes-internes et correspondants → toujours ÉGAUX entre droites parallèles.
Co-internes → toujours SUPPLÉMENTAIRES (somme = 180°) entre droites parallèles.
Réciproque : si les alternes-internes sont égaux, alors les droites sont parallèles.
Question 1 — Deux droites parallèles sont coupées par une sécante. L'angle alterné-interne de gauche est 72°. Que vaut l'angle alterné-interne de droite ?
Question 2 — Un angle co-interne vaut 130°. Que vaut l'autre angle co-interne ?
Question 3 — Deux droites sont coupées par une sécante. Les angles alternes-internes mesurent 58° et 62°. Les droites sont-elles parallèles ?
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