Niveau 5ᵉ · Cours
Deux grandeurs sont proportionnelles quand on multiplie l'une, l'autre est multipliée par le même nombre.
Une situation est proportionnelle si, quand on multiplie (ou divise) une grandeur par un nombre, l'autre grandeur est multipliée (ou divisée) par ce même nombre.
Le nombre qu'on multiplie s'appelle le coefficient de proportionnalité.
Cinéma : 1 séance = 8 €, 4 séances = 32 €, 14 séances = 112 €.
On vérifie : 32 ÷ 4 = 8, 112 ÷ 14 = 8 → toujours 8 €/séance.
Le coefficient de proportionnalité est 8.
Pour vérifier : calcule le rapport (grandeur 2) ÷ (grandeur 1) pour chaque colonne. Si c'est toujours le même nombre → proportionnel !
Ce nombre qui ne change pas s'appelle le coefficient de proportionnalité.
Un tableau de proportionnalité est un outil pour organiser des valeurs proportionnelles et retrouver des valeurs manquantes.
Dans un tableau de proportionnalité, tous les rapports (ligne 2) ÷ (ligne 1) sont égaux au coefficient de proportionnalité.
Prix de rouleaux de tapisserie : 4 rouleaux = 30,80 €.
Coefficient = 30,80 ÷ 4 = 7,70 €/rouleau.
24 rouleaux → 24 × 7,70 = 184,80 €.
338,80 € → 338,80 ÷ 7,70 = 44 rouleaux.
On peut aussi utiliser la règle de trois : si 4 rouleaux coûtent 30,80 €, alors 1 rouleau coûte 30,80 ÷ 4 = 7,70 €, donc 24 rouleaux coûtent 24 × 7,70 €.
Pour compléter un tableau : trouve d'abord le coefficient (valeur connue ligne 2 ÷ valeur connue ligne 1).
Ensuite multiplie ou divise toutes les autres valeurs par ce coefficient.
Question 1 — Un abonnement de bus coûte 12 € par mois. Le prix est-il proportionnel au nombre de mois ?
Question 2 — 4 stylos coûtent 6 €. Combien coûtent 10 stylos ?
Question 3 — Voici un tableau. Les grandeurs sont-elles proportionnelles ? Ligne 1 : 2, 5, 8. Ligne 2 : 6, 15, 24.
Sur une carte ou un plan, une échelle indique le rapport entre les distances dessinées et les vraies distances.
L'échelle d'une carte est le coefficient de proportionnalité entre les distances sur la carte et les distances réelles.
Échelle 1/50 000 signifie : 1 cm sur la carte = 50 000 cm dans la réalité.
Échelle 1/25 000 : 1 cm sur la carte = 25 000 cm = 250 m dans la réalité.
Sur la carte, deux villes sont à 4 cm. Distance réelle = 4 × 25 000 cm = 100 000 cm = 1 km.
Si la vraie distance est 3 km = 300 000 cm, sur la carte : 300 000 ÷ 25 000 = 12 cm.
Distance réelle = distance carte × dénominateur de l'échelle.
Distance carte = distance réelle ÷ dénominateur de l'échelle.
Pense à utiliser les mêmes unités partout !
Un ratio permet de comparer deux grandeurs du même type. On peut aussi partager une quantité en respectant un ratio donné.
Un ratio a : b (lu « a pour b ») compare deux quantités. Partager 100 selon le ratio 2 : 3, c'est donner 2 parts à l'un et 3 parts à l'autre.
Recette : 1 dose de poivre pour 3 doses de sel.
Pour 10 g de poivre → 3 × 10 = 30 g de sel.
Pour 60 g de sel → 60 ÷ 3 = 20 g de poivre.
On partage 200 g d'épices selon le ratio 1 : 3 : total = 1 + 3 = 4 parts, 1 part = 200 ÷ 4 = 50 g de poivre, 3 parts = 150 g de sel.
Pour partager selon un ratio a : b : nombre total de parts = a + b. Valeur d'une part = quantité totale ÷ (a + b).
Question 1 — Sur une carte à l'échelle 1/50 000, deux villages sont à 3 cm. Quelle est la vraie distance ?
Question 2 — Une recette demande des ingrédients dans le ratio 2 : 5 (farine : eau). Pour 700 g de mélange, combien de farine ?
Question 3 — La distance réelle entre deux villes est 8 km. Sur une carte à l'échelle 1/200 000, quelle est la distance sur la carte ?
La vitesse, le prix unitaire, la densité… sont des grandeurs qui comparent deux autres grandeurs. Elles utilisent toutes la proportionnalité.
Quand un objet avance à vitesse constante, la distance parcourue est proportionnelle au temps.
Vitesse = distance ÷ temps. Distance = vitesse × temps. Temps = distance ÷ vitesse.
Un piéton marche à allure régulière : 6 km en 1 h 30.
Vitesse = 6 ÷ 1,5 = 4 km/h.
En 3 heures, il parcourt 4 × 3 = 12 km.
Pour parcourir 10 km, il lui faut 10 ÷ 4 = 2,5 h = 2 h 30.
À vitesse constante → distance et temps sont proportionnels.
La formule clé : Distance = Vitesse × Temps (D = V × T).
Attention : si le temps est en minutes, convertis d'abord en heures (ou en secondes selon le problème).
Question 1 — Un cycliste roule à 15 km/h à allure constante. Quelle distance parcourt-il en 2 heures ?
Question 2 — Un train parcourt 210 km en 1 h 45 min. Quelle est sa vitesse moyenne ?
Question 3 — La distance réelle est proportionnelle au temps dans quelle condition ?
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